专题12 圆综合篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题12 圆综合 知识回顾 1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： ①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 4. 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 5. 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 6. 圆的内接四边形： ①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。 ②性质：I：圆内接四边形的对角互补。 II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 7. 三角形的外接圆与外心： 经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫 做三角形的外心。 8. 切线的性质： ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。 9. 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。 10. 相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 几何语言：若弦交于点，则。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 几何语言：若是直径，垂直于点，则。 11. 弦切角定理： （1）弦切角的定义：如图像∠ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即∠PCA=∠PBC。 12. 切线长定理： （1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 13. 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT2=PA•PB（切割线定理）。 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC=PA•PB 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。 14. 三角形的内切圆与内心： 内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。 15. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 16. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。 17. 求阴影部分的常用方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． 专题练习 1．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF； （2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）． 2．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G