2023年九年级中考数学高频考点突破——垂径定理

2023年中考数学高频考点突破——垂径定理 一、综合题 1．如图， 是 的外接圆，点D是 的中点，过点D作 分别交 、 的延长线于点E和点F，连接 、 ， 的平分线 交 于点M． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求线段 的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F， （1）请探索OF和BC的关系，并说明理由； （2）若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π) 3．已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上． （1）如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长． （2）在(1)的条件下，若BC边交l于点E，OE=2 ，求BE的长． （3）如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O 的切线，F为切点，则CF的长为　 　． 4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点 （不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD． （1）弦长AB等于　 　（结果保留根号）； （2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数； （3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，cos∠BAG= ， ．求： （1）⊙A的半径AD的长； （2）∠EGC的余切值． 6．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB于点D，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB. （1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为4，弦AB平分OC，求与弦AB、AC围成的阴影部分的面积. 7．如图， 的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°. （1）求弦AB的长. （2）求 的长. 8．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=8，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积． 9．如图， （1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=　 　 （2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长． （3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？ （4）在（1）的条件下，过P点的弦CD= ，求PC、PD的长． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，半径为1的动圆圆心M从A点出发，沿着AB方向以1个单位长度/每秒的速度匀速运动，同时动点N从点B出发，沿着BD方向也以1个单位长度/每秒的速度匀速运动，设运动的时间为t秒（0≤t≤2.5），以点N为圆心，NB的长为半径的⊙N与BD，AB的交点分别为E，F，连结EF，ME． （1）①当t＝　 　秒时，⊙N恰好经过点M； ②在运动过程中，当⊙M与△ABD的边相切时，t＝　 　秒； （2）当⊙M经过点B时， ①求N到AD的距离；②求⊙N被AD截得的弦长； （3）若⊙N与线段ME只有一个公共点时，直接写出t的取值范围． 11．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若tan∠F= ，⊙O半径为1，求线段AD的长． 12．如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E. （1）证明DE是⊙O的切线； （2）AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8. ①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹； ②求DE的长. 13．如图，以点 为圆心的圆，交 轴于 ， 两点(点 在点 的左侧)，交 轴于 ， 两点(点 在点 的下方)， ，将 绕点 旋转180º，得到 . （1）求 ， 两点的坐标； （2）请在图中画出线段 ， ，并判断四边形 的形状(不必证明)，求出点 的坐标； （3）动直线 从与 重合的位置开始绕点 顺时针旋转，到与 重合时停止，设直线 与 的交点为 ，点 为 的中点，过点 作 于