5.3.1函数的单调性常见题型总结讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性常见题型总结 一、知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 2．函数值的变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较陡峭；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓． 3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第1步：确定函数的定义域． 第2步：求出导数f′(x)的零点． 第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 二、常用结论 1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． 三、题型归纳 1、不含参函数的单调性 例1当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0，2) C．(，＋∞) D．(0，) 方法归纳：确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 注意点 (1)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号． (2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开． 跟踪训练 1、函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞) 2、下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x 3、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 4、函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 5、函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　　) A. B. C. D.∪ 6、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 7、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________. 已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是________. 8、函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是___(－∞，0)_____；单调递减区间是________． 9、已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 10、函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 2、含参函数的单调性 例2 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性. 方法归纳：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. （3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数. 跟踪训练 1、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　) A． B． C． D．(－∞，a) 2、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a>－ B.0<a< C.a>或－<a<0 D.a> 3、讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性． 4、讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性. 5、已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0)．试讨论f(x)的单调性． 3、根据函数的单调性求