专题6.2 平面向量的基本定理及坐标运算（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标运算 知识点一、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 知识点三、平面向量加、减运算的坐标表示 1．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 知识点四、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 知识点五、向量共线的判定 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 知识点六、有向线段的定比分点坐标公式及应用 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)． 知识点七、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点八、平面向量的模 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 知识点九、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 平面向量基底的形成条件 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示． 设，是平面内所有向量的一个基底．下列四组向量中，能作为基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：能作为基底的向量需满足不共线； 显然选项，，的两个向量都不共线，可以作为基底； 对于，， 和共线，不能作为一组基底． 故选：． 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：，是平面内所有向量的一组基底， ，不共线， 与不共线， 与不共线， 与不共线， ， 故与共线， 故选：． 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：不共线的向量可以作为基底； 不能作为基底的便是共线向量； 显然，； 和共线． 故选：． 已知，是平面向量的一组基底，实数，满足，则　2　． 【解答】解：由题意得不共线， 因为， 所以，， 则，，． 故答案为： 已知向量，是一组基底，实数，满足，则的值为 　3　． 【解答】解析：因为，是一组基底，所以与不共线， 因为， 所以，解得， 所以． 故答案为：3 设是不共线的非零向量，且． （1）证明：可以作为一组基底； （2）若，求，的值． 【解答】解：（1）假设，则， 故，显然该方程组无解，故与不共线， 所以可以作为一组基底． （2）由得： ， 所以，解得． 故，． 几何图形中的应用 在中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得点为的重心， 所以． 故选：． 如图，在△ABC中，，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在△ABC中，， ∴． 故选：A． 如图，在平行四边形中，，．设，． （Ⅰ）用，表示，； （Ⅱ）用向量的方法证明：，，三点共线． 【解答】（Ⅰ）解：平行四边形中，， 由于，，则，又，则在中，有， （Ⅱ）证明：．，在中，， 即，又与有公共点，