专题6.3 平面向量的应用（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量的应用 知识点一、余弦定理 1．余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 知识点二、正弦定理的推导 正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R. 知识点三、三角形面积公式 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°， sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 余弦定理与正弦定理的基本运用 在中，已知，，，求，，及面积． 【解答】解：由余弦定理得 ， 由正弦定理知， ， 又， ，， ． 在中，若，，，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，若，，， 利用余弦定理：，整理得， 解得，（负值舍去）． 故． 故选：． 已知某三角形的三条边长分别为5，7，8，则这个三角形的最大角与最小角之和为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，最大角是边长为8的边对应的角，最小角是边长为5的边对应的角， 设边长为7的边对应的角为， 由余弦定理知，， 因为，所以， 所以最大角与最小角之和为． 故选：． 设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　 A．2 B．3 C．4 D． 【解答】解：的内角，，的对边分别为，，，，，， 由余弦定理，得， ，即， 或． 故选：． 根据下列条件，解三角形． （Ⅰ）已知，，，求，，； （Ⅱ）在中，，，，求，，． 【解答】解：（Ⅰ）已知中，已知，，， 由正弦定理可，得，可得， ， （Ⅱ）已知中，，，，由三角形内角和公式可得， 由正弦定理可得，得， （1）在中，已知，，，求； （2）在中，已知，，，分析此三角形的解； （3）在中，，，，求此三角形最小边的长及与的值； （4）在中，已知，，，求和． 【解答】解：（1）因为，，所以， 由正弦定理，知，所以， 所以． （2）因为，所以此三角形无解． （3）因为，，所以，所以最小边为， 由正弦定理知，，所以， 因为 ， 所以，． （4）由正弦定理，知，所以， 所以，所以或， 当时，； 当时，， 综上，，或，． 在中， （1）已知，，，求、、； （2）已知，，，求和三角形面积； （3）已知，，，求、、； （4）已知，，，求； （5）已知，，，求． 【解答】解：（1），，， ，， ； （2），，， ， 又，； （3），，， ， ， ，， ， 则，； （4），，， ； （5），，， ． 中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）求的面积． 【解答】解：（1）， ， ． ， 由正弦定理知， ． （2），， ， ， ． 三角形的个数 在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：对于，根据三角形内角和关系可得，故只有一解； 对于，利用正弦定理可知，且，故只有一解； 对于，利用正弦定理可知，无解； 对于，利用正弦定理可知，因为大于，所以有两个值， 故选：． 不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是　　 A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 【解答】解：对于选项，，，， 由正弦定理可得，，即，只有一解，故选项错误， 对于选项，，，， 由正弦定理可得，，又，只有一解，故选项正确， 对于选项，，，， 由正弦定理可得，，即无解，故选项正确， 对于选项，，，， 由正弦定理可得，，即无解，故选项错误． 故选：． 下列条件判断三角形解的情况，正确的是　　 A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，有一解 【解答】解：，，， 由正弦定理，得，即， 所以，有一解，不正确； ，，， 由正弦定理，得， 所以， 因为，所以， 故有两个值，三角形有两解，不正确； ，，， 所以，为锐角，有一解，正确； ，，， 由正弦定理，得，即， 则为锐角，有一解，正确． 故选：． 判断三角形的形状 若，且，那么是　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：， ， ， ， ， 根据余弦定理有， ， ， ， ， 又由， 则，即， 化简可得，， 即， 是等边三角形 故选：． 在中，若，则是 　直角　三角形． 【解答】解：依题意，，由正弦定理得，， 所以三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 在中，，，