6.2.2 排列数 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排列数 课程标准 课标解读 1.理解与掌握排列数公式，熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解. 2. 能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题. 通过本节课的学习，要求能准确判断排列问题，准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题. 考点一 排列数公式的应用 （一）利用排列数公式求值 （二）利用排列数公式化简 （三）利用排列数解不等式 （四）利用排列数公式证明 考点二 无限制条件的排列问题 考点三 有限制条件的排列问题 （一）“相邻”问题 （二）“不相邻”问题 （三）定序问题 （四）间接法 （五）元素的“在”与“不在”问题 考点四 数字排列问题 考点五 排列的综合应用 知识点1 排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同． 【即学即练1】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 知识点2　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【即学即练2】等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 【即学即练3】＝________. 【即学即练4】89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 【即学即练5】【多选】下列各式中与排列数A相等的是(　　) A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D．A·A 【即学即练6】在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 知识点3 求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 【即学即练7】三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 考点一 排列数公式的应用 解题方略： 排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． （1） 利用排列数公式求值 【例1-1】计算：A和A. 变式1：_________． 变式2：下列各式中，不等于的是（ ） A． B． C． D． 变式3：已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 变式4：（1）已知，那么______； （2）已知，那么______； （3）已知，那么______． （2） 利用排列数公式化简 【例1-2】(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)； (2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)． 变式1：用排列数符号表示下列各式： （1）______； （2）______； （3）______（且）． （3） 利用排列数解不等式 【例1-3】不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 变式1：解不等式： （4） 利用排列数公式证明 【例1-4】求证： 变式1：求证：A－A＝mA. 变式2：（1）求证：； （2）求证：； （3）求和：． 考点二 无限制条件的排列问题 【例2-1】从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（    ）种不同的送法． A．60 B．125 C．45 D．11 变式1：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_____