1.2 空间向量基本定理课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 1 复习回顾 1. 共线向量定理 对空间中任意两个向量， 的充要条件是存在实数，使. 用途 证明空间三点P,A,B共线 （1）； （2） = + (). 2 复习回顾 2. 共面向量定理 如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得. 用途 证明空间三点P,M,A,B共面 （1）+ ； （2） = + + (). 3 复习回顾 3. 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使= . 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 4 探究新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论． O P Q 5 探究新知 O P Q 思考：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ 6 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理． 空间向量基本定理 如何证明空间向量基本定理？ 7 空间向量基本定理 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 8 空间向量基本定理 9 课本12页例1 10 课本12页练习题 课本13页例2 A B C D M N B1 A1 C1 D1 12 A B C D M N B1 A1 C1 D1 13 课本13页例3 A B C D E F G 14 15 课本14页练习题 设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量 ，设 为 在i，j所确定的平面上的投影向量，则 . 又向量 ，k共线，因此存在唯一的实数z， 使得 ，从而 . 因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 . 我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量. 而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得 .从而 . 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得 . 由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 .这个集合可看作由向量a，b，c 生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 . 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 ，用 表示 解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 如图，正方体 的棱长为1，E，F，G分别为 的中点. （1）求证： ；（2）求CE与AG所成角的余弦值. 解：（1）设 ，则 构成空间的一个单位正 交基底.所以 ， . 所以 . 所以 . （2）因为 ， ， 所以 . 所以CE与AG所成角的余弦值为 . $