7.4.2超几何分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样,席卷了全国,中国湖北成为重灾区,为了更好地支援湖北抗击疫情,某医院派出16名护士,4名内科医生组成支援队伍,现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援,设X表示其中内科医生的人数. 情境引入 问题X的可能取值有哪些,你能求出当X=2时对应的概率吗?这里的X的概率分布有怎样的规律? 新知探索 2.二项分布 X 0 1 k n P 1.n重伯努利试验 回顾旧知 问题. 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求:随机变量X的分布列. 如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08 且各次抽样的结果相互独立,此时X~B(4,0.08). 如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是否服从二项分布?如果不服从,那么X的分布列是什么? 新知探索 超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式, 那么称随机变量X服从超几何分布. 新知探索 1.公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列. 3. “任取n件,恰有z件次品”是一次性抽取,用组合数列式. 4.各对应的概率和必须为1. 新知探索 新知探索 解: 例4.从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选 中的概率. 设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1), 则X服从超几何分布, 且N=50,M=1,n=5, 因此甲被选中的概率为 1.判断随机变量是否服从超几何分布; 2.根据已知条件,确定M,N,n对应的值; 3.代入超几何分布的概率公式,求出结果; 新知探索 解: 另解: 例5. 一批零件共有30个,其中有3个不合格,随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率. 新知探索 探究:服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 超几何分布的均值 若X服从超几何分布, 新知探索 新知探索 解: 例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球,60个白球,从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1).分别就有放回和不放回摸球,求X的分布列; (2).分别就有放回和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率. 新知探索 解(2) 采用不放回摸球估算的结果更可靠些 (2).分别就有放回和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率. 新知探索 0.05 0 0.10 0.15 0.20 0.25 两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布. 这两种分布的均值相等都等于8. 但从两种分步的概率分步图看,超几何分布更集中在均值附近. 当n远远小于N时,每次抽取一次,对N的影响很小. 此时,超几何分布可以用二项分步近似. 1. 超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 新知探索 其中n,N,M∈N* ,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 2.超几何分布的期望 新知探索 1.超几何分布的总体里只有两类物品. ( ) 2.超几何分布的模型是不放回抽样. ( ) 3.超几何分布与二项分布的期望值都为np. ( ) √ √ √ 新知探索 1.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ) 新知探索 2.在含有5名男生的100名学生中,任选3人,求恰有2名男生的概率表达式为_. 新知探索 超几何分布模型在形式上有怎样的特点? 提示 在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”等. 新知探索 题型一 利用超几何分布的公式求概率 【例1】 在元旦晚会上,数学老师设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同,从中任意摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率(结果保留两位小数). 解 设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中N=30,M=10,n=5,于是中奖的概率为 练习巩固 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 规律方法 超几何分布是一种常见的随机变量的分布,所求概率分布问题由明显的两