7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X,Y表示,X,Y的分布列如下: 情境引入 如何比较甲、乙两人的技术? 问题 情境中的问题,我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值,但是两人的均值相等,我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平? 提示 我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度. 情境引入 1.离散型随机变量的数学期望 2.数学期望的性质 ··· ··· ··· ··· 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 回顾旧知 3.样本方差 叫做这组数据的方差. 设在一组数据 中, 是它们 是它们的平均数,那么 探究新知 随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” 因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小. 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 探究新知 如何评价这两名同学的射击水平? 因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 问题2.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 两个均值相等 探究新知 比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定? 除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度. 乙同学的射击成绩更稳定 下图分别是X 和Y 的概率分布图. Y P 10 9 8 7 0 6 X P 10 9 8 7 0 6 探究新知 思考:怎样定量刻画随机变量的离散程度? (1).样本的离散程度是用哪个量刻画的? 样本方差 (2).能否用一个与样本方差类似的量来刻 画随机变量的稳定性呢? 随机变量 X 的方差 探究新知 离散型随机变量方差 设离散型随机变量X 的概率分布为: 我们称 为随机变量X 的方差. ··· ··· ··· ··· 为随机变量X 的标准差. 有时也记为Var (X ), 探究新知 随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散. 探究新知 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 即乙同学的射击成绩相对更稳定 下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性 探究新知 在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化 探究新知 离散型随机变量方差的性质 一般地,有下面的结论成立 证明: 探究新知 解:抛掷散子所得点数X 的分布列为 P 6 5 4 3 2 1 X 例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差 探究新知 解:随机变量X 的分布列为 例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差. 探究新知 例2、投资A,B两种股票,每股收益的分布列如下表所示 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 (1).投资那种股票的期望收益大? (2).投资那种股票的风险较高? 探究新知 解: (1). 股票A、B的投资收益的期望分别为 (2). 股票A、B的投资收益的方差分别为 探究新知 1. 离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2 ,…,(xn-E(X))2 ,因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称 新知探索 2.几个常见的结论 (1)D(aX+b)=_. (2)若X服从两点分布,则D(X)=_. a2D(X) p(1-p) 新知探索 1.离散型随机变量的方差越大, 随机变量越稳定. ( ) 提示 随机变量的方差越小,随机变量越稳定. 2.若a是常数, 则D(a)=0. ( ) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. ( ) × √ √ 新知探索 1.若随机变量X服从两点分布, 且成功的概率p=0.5, 则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析 E(X)=p=0.5,D(X)=p(1-p)=0.5×0.5=0.25