8.2一元线性回归模型及其应用（2）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2.一元线性回归模型及其应用(2) 在实际问题中,有时两个变量之间的关系并不是线性关系,这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据,然后通过适当的变量代换,把非线性问题转化为线性问题,从而确定未知参数,建立相应的线性回归方程. 情境引入 提示 不一定;越小越好. 新知探索 1.一元线性回归模型 2.一元线性回归模型与函数模型的区别 Y称为因变量或响应变量 x称为自变量或解释变量 e是Y与bx+a之间的随机误差. a称为截距参数 b称为斜率参数 回顾旧知 问题1.为了研究两个变量之间的相关关系, 我们建立了一元线性回归模型表达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系,其中参数a和b未知,我们能否通过样本数据估计参数a和b? 与函数不同,回归模型的参数一般是无法精确求出的,只能通过成对样本数据估计这两个参数. 参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数,相当于寻找一条适当的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 新知探索 问题2.我们怎样寻找一条“最好”的直线,使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”? 从成对样本数据出发,用数学的方法刻画“从整体上看,各散点与直线最接近” 利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度,然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 新知探索 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 y=bx+a · 新知探索 我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 残差平方和: 求a,b的值,使Q ( a,b )最小 新知探索 新知探索 上式是关于b的二次函数,因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为 新知探索 3.最小二乘法 我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线,这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法. 新知探索 问题2:依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程. 儿子的身高不一定会是177cm,这是因为还有其他影响儿子身高的因素,回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲的身高不能完全决定儿子的身高,不过,我们可以作出推测,当父亲的身高为176cm时,儿子身高一般在177cm左右. 1). 当x=176时, ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗?为什么? 新知探索 2).根据经验回归方程 中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗?同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗? 根据经验回归方程 中斜率0.839可以解释为父亲身高每增加1cm,其儿子的身高平均增加0.839cm. 由模型可以发现,高个子父亲 x=185(cm),则 新知探索 我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在 可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析. (1)残差的定义 5.判断模型拟合的效果:残差分析 新知探索 残差图:作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图. 从上面的残差图可以看出,残差有正有负,残差点比较均匀地分布在横轴的两边,可以判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设.所以,通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设,从而判断回归模型拟合的有效性. 问题3:儿子身高与父亲身高的关系,运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效性吗? 新知探索 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 1).例1.经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的