8.2一元线性回归模型及其应用（1）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2.一元线性回归模型及其应用（1） 恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 情境引入 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 问题　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 提示　为了对两个变量线性相关关系进行预测，我们通常建立一元线性回归模型进行预测． 新知探索 1.生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表1所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 从图上看，散点大致分布在一条直线附近 根据我们学过的整理数据的方法:相关系数r =0.886． 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 1).问题1:可以得到什么结论？ 由散点图的分布趋势表明儿子的身高与父亲的身高线性相关，通过相关系数可知儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相关程度较高． 2).问题2:是否可以用函数模型来刻画？ 不能，因为不符合函数的定义.这其中还受其它因素的影响. 新知探索 3).问题3:那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 影响儿子身高的因素除父亲的身外,还有 母亲的身高、生活的环境、饮食习惯、营养水平、体育锻炼等随机的因素，儿子身高是父亲身高的函数的原因是存在这些随机的因素. 新知探索 Y=bx+a+e 4).问题4: 各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化. 你能否考虑到这些随机因素的作用， 用类似于函数的表达式,表示儿子身高与父亲身高的关系吗? 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高,用e表示各种其它随机因素影响之和，称e为随机误差, 由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以Y=bx+a. 由于随机误差表示大量已知和未知的各种影响之和，它们会相互抵消，为使问题简洁，可以假设随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值 . 新知探索 思考:为什么要假设E(e)=0,而不假设其为某个不为0的常数？ 因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样,所以它们均值的理想状态应该为0. 如果随机误差是一个不为0的常数 e，则可以将 e 合并到 截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. 如果随机误差e=0，那么Y与x之间的关系就可用 一元线性函数模型来描述. 问题5:请根据以上的分析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父亲身高的关系吗？ 新知探索 我们称①式为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量 . a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差． ① 2、一元线性回归模型 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高,e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值 ，则它们之间的关系可以表示为 新知探索 3.函数模型与回归模型之间的差别 函数模型： 回归模型： 一元线性回归模型Y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量 Y 的值由 自变量 x 和随机误差项e共同确定, 即自变量x只能解释部分Y的变化. 解释变量x (身高) 模型误差e (其它所有变量) 响应变量Y(体重) 新知探索 你能结合父亲与儿子身高的实例,说明回归模型①的意义? ① 可以解释为父亲身高为 的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为 ，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系. 而对于父亲身高为 的某一名男大学生，他的身高 并不一定为 ,它不仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项 . 新