专题36 圆的相关计算与证明（5大类型）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

模块三 重难点题型专项训练 专题36 圆的相关计算与证明（5大类型 ） 考查类型 考查类型一 圆与锐角三角函数的综合 考查类型二 圆基本性质的证明与计算 考查类型三 与圆的切线有关的证明与计算 考查类型四 圆与相似三角形的综合 考查类型五 扇形面积与圆锥侧面积综合 新题速递 考查题型一 圆与锐角三角函数的综合 例1 （2021·浙江丽水·统考中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴ 在中，， ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； 又 ∴ ∴，故选项B正确，符合题意； 又 ∴ ∵ ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴，故选项D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义． 例2 （2022·山东枣庄·统考中考真题）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____． 【答案】 【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论． 【详解】连接BC、AC， ∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点， ∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BE⊥AC， ∴∠ABE＝∠ABC＝30°， ∴tan∠ABE＝tan30°＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键． 例3 （2022·湖北黄石·统考中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论； （2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案； （3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则． （1） 解：如图所示，连接OA， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2） 解：∵，， ∴， ∴， 由知，令半径，则，， 在中，， 在中，， 即； （3） 解：在（2）的条件下，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 解题策略一：利用圆的有关性质构造直角三角形 如果圆中存在直径，则可根据直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而为使用三角函数创造条件.垂径定理和切线的性质也是圆中构造直角的重要依据. 解题策略二：用圆周角的性质把角转化到直角三角形中 借助同孤或等弧所对的圆周角相等或其他相等关系，可把三角函数中涉及的锐角转化为直角三角形中的锐角，然后借助三角函数的定义解答. 总而言之，圆与三角函数都是初中数学知识的重点，也是难点，将这两部分知识综合考查时，难度相对较大。其解题关键在于，找到相关的直角三角形。若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角转化到直角三角形中解答。 圆的内容在考察的时候形式多样，不管是哪一种类型都可以随机结合，对于学生而言灵活变通能力要求较高，所以在平时做题时需要多做总结和同类型整理，才能更快融会贯通。 【变式1】（2022·江西·模拟预测）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】解：连接OA ∵、分别与相切于点A、， ∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP， ∴∠APD=∠BPD， 在△APD和△BPD中， ， ∴△APD≌△BPD（SAS）