6.3.2 二项式系数的性质课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 6.3.2 二项式系数的性质 1、二项式定理: 二项式系数: 通 项: 回顾旧知 1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表: 通过计算填表,你发现了什么? n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有对称性 除此以外还有什么规律呢? 新知探究 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成 如下形式: 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … 1 Cn-11 Cn-12 …… Cn-1k-1 Cn-1k …… Cn-1n-2 1 能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? 新知探究 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成 如下形式: ①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离 的项的系数相等. ②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于 它“肩上”两个数的和. 新知探究 杨辉三角 这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似右侧的表： 新知探究 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 《详解九章算法》二项式系数表，在书中 说明了表里 “一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它. 这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 新知探究 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当n= 6时, 其图象是7个孤立点 f（r） r 6 3 O 6 15 20 1 二项式系数的性质 新知探究 1).对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： f（r） r 6 3 O 6 15 20 1 新知探究 2).增减性与最大值 所以 相对于 的增减情况由 决定 由： 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值 新知探究 f（r） r n O O n f（r） n为奇数 n为偶数 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值. 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值 新知探究 3).各二项式系数的和 在二项式定理中,令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成： 这是组合总数公式. 新知探究 一般地， 展开式的二项式系数有如下性质： (1). (2). (3).当 时， (4). 当 时， 新知探究 例1.证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 在展开式 证明: 得 即 赋值法 中 =2n-1 (1).已知 ,那么 = ； (3).在(a＋b)20展开式中,与第五