6.3.1 二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 组合数公式: 回顾旧知 1.我们知道 (1).观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律? 新知探究 新知探究 新知探究 (a+b)n=? 新知探究 1.二项展开式定理 每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种,则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种,则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种,则bn前的系数为Cnn 新知探究 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 2.二项展开式 ①.二项展开式共有n+1项. ②.各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止如 解: 例1. 新知探究 例2. (1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数; 解: (1). (1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=C73·17-3· (2x)3 =35× 23× x3 =280x3 所以第4项的系数是280. 新知探究 例2. (1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数; 解: 新知探究 (1).求(1+2x)7的展开式的第4项的二项式的系数. 注意:1).注意对二项式定理的灵活应用. 2).注意区别二项式系数与项的系数的概念. 二项式系数：Cnr 项的系数：二项式系数与数字系数的积 3).求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开. 第4项的二项式系数， 变式 新知探究 解 变式: 新知探究 解: 变式： 新知探究 (4).求(x+a)12的展开式中的倒数第4项 解: (x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项 变式： 新知探究 解: 所以，展开式的常数项为 变式： 新知探究 (6).求 的展开式的中间两项 解: 展开式共有10项,中间两项是第5,6项 变式： 新知探究 例3. 解: 新知探究 1．(a＋b)n的展开式中共有n项． ( ) 提示　(a＋b)n的展开式中共有n＋1项． 2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( ) 提示　交换a，b的顺序各项都发生变化. × √ × × 新知探索 答案　D 新知探索 A．80 B．－80 C．40 D．－40 新知探索 3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________． 解析　S＝[(x－1)＋1]3＝x3. 答案　x3 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？ 新知探索 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？ 新知探索 题型一　 二项式定理的正用、逆用 练习巩固 练习巩固 答案　44 练习巩固 规律方法　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 练习巩固 变1　化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 练习巩固 练习巩固 解　(1)由已知得二项展开式的通项为 练习巩固 (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则 令9－2k＝3，得k＝3， 即展开式中第4项含x3， (变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”． 练习巩固 (变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？ 解　设展开式中第k＋1项为含x5的项，则 练习巩固 练习巩固 (1)求展开式的第4项的二项式系数； (2)求展开式的第4项的系数； (3)求展开式的第4项． 练习巩固 练习巩固 练习巩固 令12－3k＝0，解得k＝4. 练习巩固 练习巩固 答案　D 练习巩固 规律方法　求展开式中特定项的方法 求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数． 练习巩固 答案　(1)1　(2)160 练习巩固 1.二项式定理： 2.通项： 3.二项式系数： 第(r+1)项 4.特殊地： 注:项的系数与二项式系数是两个