5.3.2 函数的极值与最大(小)值(2)课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值(2) 温故知新 1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法: 解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时: 如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ,那么 f (x0) 为极大值; 如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ,那么 f (x0) 为极小值; 复习引入 2 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说,如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值,但是,在解决实际问题或研究函数性质时,我们往往更关注函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小,如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f (x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。 提出问题 新知探究 探究1:函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像,你能找出它的极大值、极小值吗? 探究2:那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢? 极大值:f(x2)、f(x4)、f(x6) 极小值: f(x1)、f(x3)、f(x5) 最大值:f(a);最小值:f(x3) 问题探究 新知探究 探究3:观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象,它们在[a,b]上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么? 最大值:f(b);最小值:f(a) 最大值:f(x3);最小值:f(x4) 新知探究 连续不断 归纳总结 新知探究 6 函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大(小)值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 新知探究 7 极值 各极值 端点 最大值 最小值 新知探究 8 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f (x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,一定在区间端点处取得.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. ( ) (3)在定义域内,若函数有最值与极值,则极大(小 值就是最大(小)值. ( ) (4)若函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,则一定有最值;若可导,则最值点为极值点或区间端点. ( ) 小试牛刀 新知探究 9 新知探究 10 又因为f(0)=4,f(3)=1 所以,当x=0时,函数f(x)在[0,3]上取得最大值4, 当x=2时,函数f(x)在[0,3]上取得最小值- . 例6: 求在[0,3]的最大值与最小值. 典例解析 解:因为 令0,解得: 新知探究 归纳总结 新知探究 12 跟踪训练 新知探究 13 新知探究 14 新知探究 15 新知探究 16 例7: 给定. (1)判断函数的单调性,并求出的极值; (2)画出函数的大致图像; (3)求出方程= ()的解的个数. 典例解析 新知探究 解:(1)函数的定义域为 因为 令0,解得: 、的变化情况如表所示 所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增。 当时,有极小值= 新知探究 (2)令=0,解得: 当时, 0;当时, 0. 所以的图像经过特殊点A( ),B,C. 当时,与一次函数相比,指数函数 呈爆炸性增长,从而 当时, , 根据以上信息,我们画出的大致图像如图所示 新知探究 (3)方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。 由(1)及图可得,当时,有最小值 所以,方程= 的解得个数有如下结论; 当< 时,解为0个 当 或时,解为1个 当<0时,解为2个 新知探究 归纳总结 函数的图像直观地反映了函数的性质,通常可以按如下步骤画出函数的大致图像 (1)求出函数的定义域; (2)求导数及函数的零点; (3)用零点将的定义域为若干个区间,列表给出在各个区间上的正负,并得出单调性与极值; (4)确定图像经过的一些特殊点,以及图像的变化趋势; (5)画出的大致图像. 新知探究 21 例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是分,其 (单位:cm)中是瓶子的半径,已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 解:由题意可知,每瓶饮料的利润是 = 所以 令0,解得=2. 新知探究 当时,<0;当时,0. 因此,当半径>2时,0, 单调递增,即半径越大,利润越高;当半径2时,<0, 单调递减,即半径越大,利润越低。 (1)半径为6cm时,利润最大 (2)半径2cm时,利润最小,这时<