5.3.2 函数的极值与最大(小)值(1)课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值（1） 增 减 温故知新 复习引入 2 定义域 零点 零点 正负 复习引入 3 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题思考 新知探究 探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律? 问题探究 新知探究 放大,如图，可以看出，在的附近，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 新知探究 以a，b为例进行说明. 探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ （1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧; （2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧 新知探究 0 概念解析 新知探究 8 0 极值点 极值 新知探究 9 小试牛刀 新知探究 10 例5. 求函数的极值. 解：因为 的定义域为R，所以 令0,解得： 当变化时， ，的变化情况如下表 因此，当时，有极大值，极大值为= 当时，有极小值，极小值为=- . 典例解析 新知探究 函数的图像如图所示. 问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？ 新知探究 归纳总结 新知探究 13 新知探究 14 问题思考 新知探究 15 跟踪训练 新知探究 16 新知探究 17 新知探究 18 新知探究 19 题型一 利用导数求函数的极值 角度1　不含参数的函数求极值 例1求下列函数的极值: 练习巩固 解 (1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3. 令f'(x)=0,得x=3或x=-1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值-6 单调递增 ∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点. ∴f(x)极大值= ,f(x)极小值=-6. 练习巩固 x (-∞,-1) -1 (-1,1) (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - + 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 非极值 单调递增 故x=-1是函数的极大值点,且极大值f(-1)=- ,没有极小值. 练习巩固 方法技巧利用导数求函数极值的方法 利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值. 练习巩固 练习巩固 解 (1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)= =x(2-x)e-x. 令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0, 解得x=0或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)= . x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e-2 单调递减 练习巩固 x (0, ) ( ,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 练习巩固 角度2　含参数的函数求极值 例2已知函数f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值. 练习巩固 解 ∵f(x)=x3-(a+1)x2+4ax+2, ∴f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a). 令f'(x)=0,解得x=2或x=2a. (1)当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值; 练习巩固 (2)当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: x (-∞,2