5.3.1函数的单调性(2) 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性（2） 增 减 温故知新 新知探究 2 定义域 零点 零点 正负 新知探究 3 例3. 求函数的单调区间. 解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得 令0,解得： ， 在各区间上的正负，以及单调性如表所示。 探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。 典例解析 新知探究 所以，f(x)在在 上单调递增， 在 单调递减。如图所示 如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？ 新知探究 6 归纳总结 新知探究 6 跟踪训练 新知探究 7 新知探究 8 新知探究 9 探究2： 典例解析 分析 新知探究 分析 新知探究 快 陡峭 慢 平缓 归纳总结 新知探究 12 例4.设 解：因为 所以, , 当x=1时， 当0<x<1时, 当x>1时， 所以，f(x),g(x)在 上都是增函数。在区间（0,1）上， g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间 ， g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。 典例解析 新知探究 所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。 新知探究 典例解析 新知探究 15 新知探究 16 新知探究 17 归纳总结 新知探究 18 跟踪训练 新知探究 19 新知探究 20 题型一 利用导数求不含参数的函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=cos x+ x,x∈(0,π). 练习巩固 练习巩固 练习巩固 反思感悟 导数法求单调区间及注意事项 (1)利用导数求函数单调区间的步骤 ①确定函数的定义域. ②求导数f'(x). ③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间. (2)在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的非空子集. (3)当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接. 练习巩固 变3求下列函数的单调区间: (1)f(x)=4x- x3; (2)f(x)=ex-x. 练习巩固 解 (1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2. 令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2<x<2; 令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2. 故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞). (2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1. 令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0; 令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0). 练习巩固 例4讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性. 题型二 利用导数求含参数的函数的单调区间 练习巩固 由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 练习巩固 方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法 (1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论. (2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制. 练习巩固 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递____ f ′(x)＜0 单调递____ 2．判断函数y＝f (x)的单调性 第1步：确定函数的______； 第2步：求出导数f ′(x)的____； 第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数fx的定义域； 2求导函数f′x； 3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集； 4根据3的结果确定函