5.3.1函数的单调性(1)课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性（1） 导语 在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。 新知探究 问题1: 判断函数单调性的方法有哪些? 1.定义法： 2.图像法： 3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减 4.导数法 问题探究 新知探究 问题探究 问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= -9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 新知探究 观察图像可以发现 （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0 （2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0 新知探究 问题探究 问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当 时，函数的图像是“上升”的， h(t)函数在上单调递增； 当 时，函数的图像是“下降”的， h(t)函数在上单调递减。 这种情况是否具有一般性呢？ 新知探究 问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。 新知探究 导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系； 新知探究 增 减 归纳总结 新知探究 9 小试牛刀 辨析 10 新知探究 11 例1. 利用导数判断下列函数的单调性: （1） （2） (3) 解: (1) 因为, 所以 所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示 典例解析 例析 (2) 因为, 所以 所以，函数在 上单调递减，如图（2）所示 (3) 因为, ,所以 所以，函数在 ,上单调递增，如图（3）所示 例析 14 归纳总结 新知探究 14 跟踪训练 新知探究 15 新知探究 16 例2. 已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状. 当1 < x < 4 时, >0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 0. 典例解析 解: 当1 < x < 4 时, ,0 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 0. 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示. 新知探究 18 归纳总结 新知探究 18 跟踪训练 新知探究 19 新知探究 20 新知探究 21 题型一 函数与导函数图象间的关系 例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(　　) 练习巩固 (2)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 练习巩固 答案 (1)D　(2)D 解析 (1)由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D. (2)原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D. 方法技巧研究函数图象与导函数图象之间关系的方法 导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间). 练习巩固 变1 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(　　) 练习巩固 答案 C 解析 当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1)上单调递增;当-1<x<0时,xf'(x)>0, ∴f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减; 当0<x<1时,xf'(x)<0, ∴f'(x)<0,故f(