5.2.3简单复合函数的导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 问题探究 探究1. 如何求 解析:方法一: = 若求的导数呢?还有其它求导方法吗? 新知探究 探究2. 如何求 分析:函数初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数,下面,我们分析这个函数的结构特点 新知探究 如果 过程可表示为 新知探究 y=f (g(x)) 概念解析 新知探究 5 6 新知探究 6 探究3: 求函数 分析:令,得 以表示对的导数,表示对的导数,一方面, ==2 2 另一方面 = , =2 可以发现 问题探究 新知探究 y对u的导数与u对x的导数的 乘积 求导法则 新知探究 8 小试牛刀 辨析 9 新知探究 10 例6.求下列函数的导数 (1) (2)(3) 解:(1)函数 = = 3= 典例解析 例析 (2)函数 = == (3)函数 = == 12 新知探究 12 跟踪训练 新知探究 13 14 15 例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数在时的导数,并解释它的实际意义。 典例解析 新知探究 解: 可以看作函数的复合函数,根据复合函数的求导法则,有 = == 当=3时, 它表示当=3s时,弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s 新知探究 题型一 求复合函数的导数 例1求下列函数的导数: (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- ); (3)y=ln(4x-1);(4)y=. 练习巩固 练习巩固 反思感悟 复合函数求导的步骤 练习巩固 练习巩固 解 (1)令u=3x-2,则y=10u, 所以yx'=yu'·ux'=10uln 10·(3x-2)' =3×103x-2ln 10. 练习巩固 题型二 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用 练习巩固 易错警示 此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性. 练习巩固 变 2求下列函数的导数: (1)y=sin 2x+cos 2x; 练习巩固 练习巩固 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f (u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数,记作_. 思考:函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的? [提示] 函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1 两个函数复合而成的. 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=_,即y对x的导数等于_ _. y′u·u′x [答案] (1)√ (2)× (3)× 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=sin(πx)的复合过程是y=sin u,u=πx. ( ) (2)f (x)=ln(3x-1)则f ′(x)=eq \f(1,3x-1). ( ) (3)f (x)=x2cos2x,则f ′(x)=2xcos2x+2x2sin2x. ( ) [提示] (2)中f ′(x)=eq \f(3,3x-1). (3)中,f ′(x)=2xcos 2x-2x2sin 2x. 2.函数y=eq \f(1, 3x-1 2)的导数是( ) A.eq \f(6, 3x-1 3) B.eq \f(6, 3x-1 2) C.-eq \f(6, 3x-1 3) D.-eq \f(6, 3x-1 2) C [∵y=eq \f(1, 3x-1 2), ∴y′=-2×eq \f(1, 3x-1 3)×(3x-1)′=-eq \f(6, 3x-1 3).] 复合函数求导的步骤 跟踪训练1 求下列函数的导数: (1)y=e2x+1;(2)y=eq \f(1, 2x-1 3); (3)y=5log2(1-x);(4)y=eq \f(ln 3x,ex). [解] (1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数, ∴y′x=y′u·ux′=(eu)′(2x+1)′=2eu=2e2x+1. (2)函数y=eq \f(1, 2x-1 3)可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数, ∴y′x=y′u·ux′=(u-3)′(2x-1)′=-6u-4 =-6(2x-1)-4=-eq \f(6, 2x-1 4). (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数, ∴y′x=y′u·u′x=(5log2u)′·(1-x)′=eq \f(-5,uln 2)=eq \f(5, x-1 ln 2). (4)∵