7.2 复数的四则运算-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1.计算 (　　) A． B． C． D． 答案 解析 . 2.已知复数的实部为，虚部的绝对值为，则下列说法错误的是(　　) A．是实数 B． C． D．在复平面中所对应的点不可能在第三象限 答案 解析 由已知得，， 则， ，则正确，错误； 的实部大于，故在复平面中所对应的点不可能在第三象限，正确． 故选． 3.已知两非零复数，若，则一定成立的是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 设， ， 不一定成立，故不正确； 则， 不一定成立，故不正确； ， 不一定成立，故不正确； ，且， 正确，故成立． 故选 ． 4.在平行四边形中，对角线相交于点，若向量对应的复数分别是，则对应的复数是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 由于，所以对应的复数为． 5.若，则复数对应的点(　　) A．在实轴上 B．在虚轴上[来源科*网]C．在第一象限 D．在第二象限 答案 解析 由对应的点的轨迹是两点连线的垂直平分线，即虚轴． 二、多选题 6. 已知复数，，若为实数，则( ) A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第二象限 答案 解析 复数，， ， 为实数， ，解得，故正确， ，， ，故错误， 为纯虚数，故正确， ，其在复平面内对应的点，位于第一象限，故错误． 故选：． 三、填空题 7.方程在复数范围内的解是____． 答案 8.若复数满足，则____． 答案 解析 设，则． ， ，解得， 即． 9.设复数满足，则　 　． 答案 解析 ， 在复平面上分别对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上, , 在复平面上分别对应的点在圆上， 由向量的平行四边形法则，可知四边形是平行四边形, 如下图易知是等边三角形且边长为2，易求, 由向量的三角形法则可知. 四、解答题 10.已知是复平面上的四个点，且向量对应的复数分别为． (1)若，求 (2)若为实数，求的值． 答案 (1) ；(2) ． 解析 (1)向量对应的复数分别为 ． ． ．解得． ． (2)为实数， ，， ，解得， ，解得． ． 11.复数，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 答案 解析 解法一：如图，设复数所对应的点分别为，正方形的第四个顶点对应的复数为． 则， ． 因为， 所以， 所以，解得. 故点对应的复数为． 解法二：设复数所对应的点分别为， 正方形的第四个顶点对应的复数为． 因为点与点关于原点对称， 所以原点为正方形的中心， 所以点也是点与点连线的中点， 于是， 所以， 故点对应的复数为． 12.如图，向量对应复数分别为，作出对应的向量，并指出成立吗？ 答案 成立 解析 解法1：由向量平行四边形法则知，分别以向量为邻边作平行四边形所得的 对角线，即为向量，如图(1)． 解法2：以向量的终点为起点作向量， 则向量即为复数对应的向量，如图(2)． 由向量模的性质知：成立． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1.已知满足，则的实部是(　　) A． B．0 C． D． 答案 解析 由题意可设，， 由， 得． 即，解得． ． 即的实部是． 故选 ． 2.已知复数，，满足，且复数在复平面内位于第一象限，则　　( ) A． B． C． D． 答案 解析 设，根据得，， 解得：或或． 由且复数在复平面内位于第一象限，可知， ，， ． 故选：． 二、多选题 3.已知，且，下列说法正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C． D． 答案 解析 由得，，，，对； 令，，满足，但不满足，错； 令，， 则 ， 又，对； ， ，，对． 故选：． 三、填空题 4.设为实数，且，则______． 答案 解析 ，解得， ． 5.如果复数满足，那么的最小值是　 　 . 答案 解析 复数满足， 的几何意义是以为端点的线段， 则的几何意义为上的点到的距离， 则由图象知到线段的距离的最小值为， 故答案为． 6.已知方程的两个虚根是，若，则　　． 答案 解析 由题意， 设，； ，， ，， ①当时，，故； ②当时，，故； 故答案为：． 四、解答题 7.设是虚数，是实数，且， (1)求的值及的实部的取值范围； (2)设，求证：为纯虚数； (3)求的最小值． 答案 (1) ；(2)略；(3) 解析 (1)解：是虚数， 可设，且． ． 是实数且， ，即．此时． ，从而有， 即的实部的取值范围是． (2)证明：． ， 为纯虚数． (3