5.3导数在函数中的应用（一）单调性学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 导数在函数中的应用（一）-单调性 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 知识梳理 ) 一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性． 已知函数的图象如左图所示， 由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数．现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况： 考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到： 在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数． 在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数． 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， （1）若，则在这个区间上为增函数； （2）若，则在这个区间上为减函数； （3）若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件． 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增． ③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数在区间（，）内可导， （1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数． 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 要点诠释： 1 求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 2 求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． ( 典例分析 ) 考点一：利用导数判断不含参函数的单调性 例1、求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 例2、求函数的单调区间． 例3、当时，求证：函数是单调递减函数． 考点二：利用导数判断含参函数的单调性 例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 例2、判断函数（a＞0）的单调性． 例3、已知函数, 讨论函数的单调性． 例4、已知函数f()=－+(－1)，()， 讨论函数的单调性． 考点三：利用导数求参数的取值范围 例1、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【总结升华】 （1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间； （2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法． 例2、已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围． 例3、已知函数，若在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 例4、已知函数R, ． 求函数的单调区间； P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞) 2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．