解析几何大题加强练-【红对勾】2023版高考数学（文科）二轮复习讲与练

高三二轮·数学·1(文科) 解析几何大题加强练 1.(2022·太原市一模)如图, 已知抛物线y2=2px(p > 0)的焦点为F,点O 为坐标 原点,一条直线过定点M(4, 0)与抛物线相交于A,B 两 点,且OA ⊥OB. (1)求抛物线的方程; (2)连接AF,BF 并延长交抛物线于C,D 两 点,求证:直线CD 过定点. 2.(2022·甘肃诊断考试)已知椭圆E:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的左焦点与短轴两端点的连线 及短 轴 构 成 等 边 三 角 形,且 椭 圆 经 过 点 M 1,- 3 2 . (1)求椭圆E 的方程; (2)不经过点M 的直线y= 3 2x+m (m≠0) 与椭圆E 相交于A,B 两点,A 关于原点的对 称点为R,直线MR,MB与y轴分别交于P,Q 两点,求证:|MP|=|MQ|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 128 第一部分 专题突破 3.已知椭圆C:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的左、右 焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一动点(与左、 右顶点不重合),△PF1F2 的内切圆半径的最 大值是 3 3 ,椭圆的离心率是1 2. (1)求椭圆C 的方程; (2)过H(4,0)作斜率不为0的直线l交椭圆 于A,B 两点,过B 作垂直于x 轴的直线交椭 圆于另一点Q,连接AQ,设△ABQ 的外心为 G,求证:|AQ| |GF2| 为定值. 4.在平面直角坐标系xOy中,设F(-c,0)为椭 圆C:x 2 a2 + y2 b2 = 1(a >b>0)的左焦点, P - a2 c ,0 ,M 为椭圆C 的左顶点,已知椭圆 的长轴长为8,且PM→=2MF →. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若过点P 的直线与椭圆交于A,B 两点 (点B在点A 右侧),设直线AF,BF的斜率分 别为k1,k2. ① 求证:k1+k2 为定值; ② 求 △ABF 面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 129 高三二轮·数学·1(文科) 则 MN 的垂直平分线方程为 y+ 3t 3t2+4 = -tx- 4 3t2+4 , 令y =0,得点 P 的横坐标为xP = 1 3t2+4 , 于是|PF|=|1-xP|= 3(t2+1) 3t2+4 = 1 4|MN| , 故当l的方向改变时,|MN|与|PF| 的比值为常数4. 4.解:(1)由题意得A(0,b),B(0,-b), C(-a,0),D(a,0), 所 以 AC→ = (- a,-b),AD→ = (a,-b), 则AC→·AD→ = -a2+b2 = -3.① 因为四边形ABCD 的面积为12|AB| · |CD|= 1 2 ×2a×2b=2ab , 所以2ab=4,结合①可得a=2,b=1, 所以椭圆的标准方程为x 2 4 +y 2 =1. (2)证明:由(1)得点A(0,1),直线PA 的方程为y =kx+1, 代入x 2 4 +y 2 =1,得(4k2 +1)x2 + 8kx =0, 所以xP = - 8k 4k2+1 , yP = - 8k2 4k2+1 +1= - 4k2+1 4k2+1 , 即点P - 8k 4k2+1 ,-4k 2+1 4k2+1 . 因为 k1 k = -2 ,所以k1 = -2k, 又B(0,-1), 所以直线QB的方程为y= -2kx-1, 代入x 2 4 +y 2 =1,得(16k2+1)x2+ 16kx =0, 所以xQ = - 16k 16k2+1 , yQ = 32k2 16k2+1 -1= 16k2-1 16k2+1 , 即点Q - 16k 16k2+1 ,16k 2-1 16k2+1 . 于是直线QM 的斜率 kQM = 16k2-1 16k2+1 -3 - 16k 16k2+1 = 16k2-1-48k2-3 -16k = 8k2+1 4k , 直线PM的斜率kPM = -4k2+1 4k2+1 -3 - 8k 4k2+1 = -4