9.5 三角形的中位线-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 9.5 三角形的中位线 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 考点01：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 知识要点：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 考点02：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 知识要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典例分析01】（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）如图，等边中，点是中点，于点，若，则长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【思路点拨】先构造直角，证明是的中位线，求出，再利用等边三角形的性质求出后即可求解. 【规范解答】解：如图，过A点作于M， ∵， ∴ ∵点D是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵等边中，， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线的判定，线段的和差等知识，解题关键是构造直角三角形. 【典例分析02】（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）如图，点，，分别是各边的中点，连接，，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的一半，据此即可求解． 【规范解答】解：、分别是的边、的中点， ． 同理，，， ． 的周长， 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：的周长是的周长的一半是关键． 【随堂演练01】（2021春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是AB、AD中点，若，，，则___________． 【随堂演练02】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）在中，三条中位线围成的三角形周长是，则的周长为______. 【典例分析03】（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（　　） A．2 B． C．5 D．9 【答案】D 【思路点拨】连接AC，过点B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易知△ABC的面积，可得BG长及△ADC面积，△ABC和△ACD同底，利用面积比求出其高之比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形面积公式即可求解． 【规范解答】如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点， ∵E、F分别是AD、CD的中点 ∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH ∴BG⊥AC 在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ∴由勾股定理可得：AC＝ ∵△ABC为等腰三角形 ∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形 ∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四边形ABCD的面积为20 ∴S△ACD＝20－16＝4， ∴， ∴=， ∴BH＝BG+GH＝， 又∵， ∴S△BEF＝． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了三角形的面积计算、中位线定理、等腰直角三角形的性质，如何根据题意做出辅助线并正确找出其底与高是解题的关键． 【典例分析04】（2023春·八年级课时练习）如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【思路点拨】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【规范解答】解：如图，连接， E，F分别是，的中点，， ， ，F是的中点， ，G是的中点， ， ， F是的中点， ，， ， ， E，F分别是，的中点， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理