重难点11 圆锥曲线的难点突破-2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

重难点11圆锥曲线的难点突破 一、范围、最值问题 与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考命题的热点，直线与圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关系受一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解. 1.直线的斜率的范围． 2.几何图形面积的范围． 3.参数的范围. 解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 一、填空题 1．如图，已知点F为抛物线C：的焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______． 2．如图，设曲线C是由：和：组成，对于点，若在曲线C上恰好存在6个不同的点，，，，，，使得和，和，和都关于点B对称，则b的取值范围是_____________. 二、解答题 3．如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中. (1)若点是的中点，求的值； (2)求面积的最小值. 4．在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为． (1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）； (2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D． ①与是否相等？证明你的结论； ②已知，求面积的最大值． 5．已知平面内点与两定点，连线的斜率之积等于 . (1)求点的轨迹连同点，所构成的曲线的方程； (2)设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线与曲线交于、两点，点为弦的中点： ①求证：直线与直线的斜率之积为定值； ②过点作直线的垂线交曲线于、两点，点为弦的中点设直线与直线交于点，若有，求的最大值. 6．我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示． (1)求“异型”曲线的方程； (2)若，为“异数”曲线上的点，求的最小值； (3)若直线与“异形”曲线有两个公共点，求的取值范围． 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且. (1)求椭圆方程； (2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点； (3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由. 二、定点、定值 圆锥曲线的定点与定值问题是高考命题的热点，无论选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖. 1.直线或曲线过定点． 2.线段的长或几何图形的面积为定值. 圆锥曲线中的证明问题的解决方法 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 常用的证明方法有： (1)证A、B、C三点共线，可证kAB＝kAC或＝λ. (2)证直线MA⊥MB，可证kMA·kMB＝－1或·＝0. (3)证|AB|＝|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上． 一、填空题 1．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 2．已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______． 二、解答题 3．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 4．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q． (1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数； (2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值．