第6章 平面向量及其应用（复习课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

【大单元教学】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册） 第6章平面向量及其应用全章复习 知识体系 平面向量 2 平面向量 3 4 题型一　向量的线性运算 [例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1， ＝e2，以{e1，e2}为基底表示向量， ， . ∵ ＝e2，且＝k，∴ ＝k ＝ke2. ∵ ＋ ＋ ＋ ＝0， ∴ ＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又∵ ＋ ＋ ＋ ＝0， 且＝－， ＝ ， ∴ ＝－－－＝－＋＋＝ e2. 5 方法技巧 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． 6 向量线性运算的求解策略 7 题型二　向量的数量积运算 [例2]　在△OAB中，＝a， ＝b，OD是AB边上的高，若＝λ ，则实数λ等于(　　) A． B． C． D． ∵ ＝λ， ∴ －＝λ(－)， ＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a， 又是AB边上的高，∴ · ＝0，即·(－)＝0， ∴[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0.整理可得λ(a－b)2＝(a－b)·a，即λ＝ . B 8 方法技巧 向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解． 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 9 方法技巧 向量数量积的求解策略 (2)借助零向量． 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 10 方法技巧 向量数量积的求解策略 (3)借助平行向量与垂直向量． 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题． (4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 11 题型三　向量的应用 [例3] 在△ABC中， · ＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点． (1)求· 的值； (2)判断· 的值是否为一个常数，并说明理由． 12 [例3] 在△ABC中， · ＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点． (1)求· 的值； ∵ · ＝0，∴AB⊥AC．又||＝12，||＝15， ∴||＝9. 由已知可得＝ (＋)， ＝－， ∴ · ＝ (＋)·(－)＝(2－ 2) ＝ ×(144－81)＝ . 13 [例3] 在△ABC中， · ＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点． (2)判断· 的值是否为一个常数，并说明理由． 理由： ∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点， ∴ · ＝0. 故· ＝(＋ )· ＝ ·＋ ·＝ ·＝ . · 的值为一个常数． 14 [例4] 平面向量a＝(, －1)，b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)． 由a＝(, －1)，b＝ 得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1， 由x⊥y，得x·y＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0， －4k＋t3－3t＝0，k＝ (t3－3t)， 即k＝f(t)＝ (t3－3t)． 15 向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用． 方法技巧 题型四　数形结合思想 [例5] 已知向量a与b不共线，且|a|＝|b|≠0，则下列结论正确的是(　　) A．向量a＋b与a－b垂直 B．向量a－b与a垂直 C．向量a＋b与a垂直 D．向量a＋b与a－b共线 如图所示，作＝a， ＝b， 以OA和OC为邻边作▱OABC． 由于|a|＝|b|≠0，则四边形OABC是菱形． 所以必有AC⊥OB． 又因为a＋b＝ ，a－b＝ ， 所以(a＋