3.3.1抛物线及其标准方程 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线 环节一 抛物线及其标准方程(1) 通用配图仅作示例 高中数学人教A版选择性必修第一册单元教学设计 引入新课 通过前面的学习可以发现,如果动点M到定点F的距离与它到定直线l(定直线l不过点F)的距离之比为k. 当0<k<1时,点M的轨迹为椭圆. 当k>1时,点M的轨迹为双曲线. 当k=1时,即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时,点M的轨迹又会是什么形状? 下面我们就来研究这个问题. 思考 2 探索抛物线的概念 如何画出平面内任意一点到定点F的距离及其到定直线l(不过定点F)的距离? 答案:取平面内任意一点M,连接MF,过点M作MH垂直于直线l,并交直线l于点H,得到线段MF、MH. 线段MF为点M到定点F的距离,线段MH为点M到定直线l的距离. 问题1 H l M F 3 探索抛物线的概念 追问1:如何取点M,才能使|MF|=|MH|? 答案:从“等腰三角形三线合一”这一角度,或者从“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一角度,都可以得到|MF|=|MH|的结论,即点M应为线段HF垂直平分线上的点. 问题1 4 操作:利用信息技术作图,并进行动态演示.F是定点,l是不经过点F的定直线,H是直线l上任意一点,过点H作MH⊥l,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H,点M随之运动. 探索抛物线的概念 问题1 m l M H F E 5 追问2:在演示过程中,随着点M的位置变化,是否存在不变的关系?点M的轨迹是什么形状呢? 答案:MF和MH的大小随着点M的变化而变化,但始终有|MF|=|MH|.点M的轨迹形状与二次函数的图象相似. 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(不过定点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola). 其中点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 探索抛物线的概念 问题1 6 追问3:定义中的需要注意的要点有什么? 答案:定义中的要点有,一是抛物线的几何特征,二是直线l不过点F. 若点F在直线l上,动点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线. 探索抛物线的概念 问题1 7 观察抛物线,我们应如何选择坐标系,可能使所建立的抛物线方程更简单? 探索抛物线的概念 问题2 8 答案:通过观察抛物线的形状,直观发现抛物线的对称性,确定x轴所在的位置.取过点F且垂直于直线l的所在直线为x轴,垂足为K. 而y轴(原点)所在的位置,可以想到以下三种方案. 抛物线标准方程的建立 问题2 方案(一) 方案(三) 方案(二) O x y F (K)O M x y O F K M x y O(F) K M 9 追问1:我们知道二次函数的图象就是抛物线,我们对二次函数的知识进行迁移.当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候,二次函数的解析式最简单? 我们应该选择以上哪种方案呢? 答案:二次函数的顶点在原点时,二次函数的解析式最简单,因而方案(三)的曲线方程应最简单. 抛物线标准方程的建立 问题2 10 答案:使得原点与线段KF的中点重合,建立平面坐标系xOy. 抛物线标准方程的建立 问题2 追问1:我们知道二次函数的图象就是抛物线,我们对二次函数的知识进行迁移.当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候,二次函数的解析式最简单?我们应该选择以上哪种方案呢? 设|KF|=p (p>0),则抛物线的焦点坐标 ,准线 . 若点M(x,y)是抛物线上任意一点,则点M到准线l的距离为d. 11 抛物线标准方程的建立 问题2 两边平方并化简,得 追问1:我们知道二次函数的图象就是抛物线,我们对二次函数的知识进行迁移.当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候,二次函数的解析式最简单? 我们应该选择以上哪种方案呢? 所以 . 因为 , , 答案:由抛物线的定义,抛物线是点的集合 . 12 追问2:抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系? 答案:从上述过程可看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解. 抛物线标准方程的建立 问题2 即曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程. 的距离相等,所以以方程①的解为坐标的点都在抛物线上. 抛物线上的点的坐标与方程①的解之间是一一对应的关系. 以方程①的解为坐标的点(x,y) ,到抛物线的焦点 的距离和准线 13 追问2:抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系? 抛物线标准方程的建立 答案:我们把方程 ①叫做抛物线的标准方程. 问题2 p的几何意义是:焦点到准线的距离. 它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是 ,准线是 的抛物线. 14 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系,我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程还会有哪些形式呢?请探究并完成表格. 抛物线标准方程的建立 问题3 图形 标准方程 焦