2023年中考数学高频考点训练——圆周角定理

2023年中考数学高频考点训练——圆周角定理 一、综合题 1．如图，已知 的直径为 ，点 在圆周上（异于 ， ）， . （1）若 ， ，求 的长； （2）若 是 的平分线，求证：直线 是 的切线. 2．如图， 是⊙O的直径，点 是半圆的中点，点 是弧 上一点，连接 ， ， ， ， ，过点 作 交 延长线于点 ，直线 交 于点 ，交 于点 . （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长. 3．如图，△ABC中，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E， ，连结AD. （1） 求证：AB=AC； （2） 若∠C= ，AB=6，求 的长. 4．已知点A，B，C是 上的三个点， ． （1）如图①，若 ．求 和 的大小； （2）如图②，过点C作 的切线，交 的延长线于点D，若 ，求 的大小． 5．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ （1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2 时，求⊙O的半径。 （2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝60°，AD是⊙O的直径，Q是AD延长线上的一点，且BQ＝AB． （1）求证：BQ是⊙O的切线； （2）若AQ＝6． ①求⊙O的半径； ②P是劣弧AB上的一个动点，过点P作EF∥AB，EF分别交CA、CB的延长线于E、F两点，连接OP，当OP和AB之间是什么位置关系时，线段EF取得最大值？判断并说明理由． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线. （1）求证：∠CDE＝ ∠BAC； （2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径. 8．如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连结BE. （1）求证：. （2）若点F为中点，且，求线段的长. 9．问题背景： 如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系. 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD. 简单应用： （1）在图①中，若AC=2，BC=4，则CD=　 　. （2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，弧AD＝弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的长.拓展规律： （3）如图4,△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= AC，CE=CA，且点E在直线AC的左侧时，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是　 　. 10．如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 . （1）若 的度数是40°，求 的度数； （2）求证： 平分 ； （3）若 经过圆心，求 的长. 11．如图，点A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，且FG＝FB＝3. （1）求证：BF＝EF； （2）求tanP； （3）求⊙O的半径r. 12．如图，半圆O中， ，点M为 上一点， ，点P为半圆上一个动点，连接 、 ，过点A作 ，垂足为N. 小明根据学习函数的经验，对线段 、 、 的长度之间的关系进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）设 的长度为 cm ， 的长度为 ， 的长度为 ，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段 、 、 的长度的几组值，如表： 0 1 2 3 4 5 6 7 7.5 7.64 7.78 7.90 8 0 0.99 1.99 2.97 3.92 4.82 5.61 5.99 5.56 5.18 4.46 3.30 0 6 5.91 5.65 5.21 4.53 3.56 2.12 0.24 2.25