专题 恒成立问题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

恒成立问题 分离参数法 1． 已知函数在上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 2． 如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是 A．2 B． C．1 D． 最值法（含参讨论） 3． 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 4． 设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为__________． 数形结合法 5． 设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 6． 已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是__________． 构造函数法 7． 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8． 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（ ） A． B．0 C．1 D．2 9． 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________． 任意存在型 10． 设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________． 对点练习 1． 已知函数． （1）当时，的极小值为 ； （2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 2． 已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是__________． 3． 设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 4． 设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 5． 若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 6． 已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ． 7． 若对任意实数，恒成立，则 ． 8． 已知函数． （1）若，求函数的单调区间 （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 9． （分离参数法）已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时恒成立，求实数的取值范围； 11． （分离参数法）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 12． （借助第一问信息，双最值法）已知函数． （1）求的最大值； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 13． 已知函数． （1）若，讨论的单调性﹔ （2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值． 14． 已知函数． （1）若时求函数的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 15． 已知函数． （1）设函数，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒成立问题 分离参数法 1． 已知函数在上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上恒成立，等价于在上恒成立， 只需即可．令，故可得，则，当，恒成立，故单调递减， 故，故单调递减．故可得． 故只需，即．故选D． 2． （多选）如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是 A．2 B． C．1 D． 【答案】CD 【解析】，不等式恒成立，即在上恒成立，设，则， 设，则， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得，即，则， 所以当时， ，则，则单调递减． 所以当时， ，则，则单调递增． 所以当时，有最小值， 即，所以，故选CD． 方法二：同构+放缩 ， ∴ 最值法（含参讨论） 3． 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． （2）由（1）知时，在上递增，在上递减． 所以，恒成立，则， 即，由于时，，不等式不成立， 所以，解得． 4． 设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为__________． 【答案】 【解析】因为函数，所以，， 令，得和， （1）当时，此时，此时，即有单调递减， 故时，；时，，所以对于，都有成立，满足题意； （2）当时，有，从而时，，即单调递增， 而，故可知对时，均有．不合题意； （3）当，有，时，单调递增， 而，故可知对于任意时，均有．不合题意． 综上：．故答案为． 数形结合法 5． 设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数，．对于一次函数，．，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图象如下图所示．由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率．而，所以．故答案为 6． 已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是________