2023年中考数学专题：几何变换压轴题

2023年九年级数学中考专题:几何变换压轴题 1.在中,,. (1)如图1,点E在上(不与点A,B重合),连接,将绕点C逆时针旋转,得到,连接,. ①求证:; ②若,,求的长. (2)如图2,若点E在外,且,将绕点C逆时针旋转,得到,连接交于点G,射线与射线相交于点H.求证:. 2.如图1,在中,,,,点分别是边的中点,连接.将绕点逆时针方向旋转,记旋转角为. (1)问题发现 当时,_;当时,_. (2)拓展探究 试判断:当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时,请直接写出线段的长_. 3.已知:如图,是以,为腰的等腰直角三角形,现将绕点逆时针旋一个角度得到,连接,. (1)如图1,当时,求证:. (2)如图2,当时,点E在的延长线上,延长交于点F,求证:. (3)如图3,当时,延长交于点F,求证:F是的中点. 4.在和中,. (1)连接,点分别为的中点,连接, ①如图1,当三点在一条直线上时,与数量关系与位置关系是_. ②如图2,当等腰绕点顺时针旋转时,①中的结论还成立吗?如果成立,请证明你的结论;如果不成立,请说明理由. (2)如图3,当等腰绕点顺时针旋转时,连接,点分别为的中点,连接,若,则的最大值是_. 5.【问题提出】在一节数学课上,王老师提出了一个数学问题: 如图1-1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=5,PB=12,PC=13,求∠APB的度数. (1)【问题探究】针对这个问题,某学习小组进行了如下尝试:如图1-2,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到,连接,得到等边.请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数; (2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,其内部有一点P.如图2,连接PA,PB,PC,若∠APC=135°,试判断线段PA,PB,PC之间的数量关系,并说明理由; (3)如图3,连接PA,PC,以PC为直角边作等腰Rt△PCQ,∠CPQ=90°,连接BQ,取BQ的中点M,连接AM,PM,试判断是否为定值,若为定值,请求出相应的值;若不是定值,请说明理由. 6.如图1,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,点E是BC的中点,将△ABE向左平移到△DCF的位置,得到四边ADFE. (1)四边形ADFE是 形; (2)如图2,将图(1)中的△DCF绕点D旋转至△DMA,连接ME,求线段ME的长; (3)如图3,在上述四边形ADFE中,连接DE,点M是射线EF上一动点,将△DMF绕着点D旋转至△DNA,P、O分别是DE,DN的中点,连接QP,求QP的最小值. 7.如图1,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,点A在DG上,连接AE,CG. (1)求证:; (2)猜想:AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想; (3)在其它条件不变的前提下,如果将正方形ABCD绕着点D按逆时针旋转任意角度(如图2).那么(2)中结论是否还成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (4)如图3,将正方形ABCD绕着点D旋转到某一位置时恰好使得,.当正方形DEFG的边长为时,请直接写出正方形ABCD的边长. 8.定义:如果一个三角形存在一条边上的高与这条边的比值是,那么称这个三角形为“准等腰”三角形,这条边就叫做这个三角形的“准底”. (1)【概念感知】等边三角形_“准等腰”三角形.(填“是”或“不是”) (2)【问题探究】是“准等腰”三角形,,“准底”长为,求的长. (3)【拓展提升】如图1,,且直线与之间的距离为4,“准等腰”三角形的“准底”在上,点在上,,将绕点按顺时针方向旋转得到,线段交于点. ①当时,求的长; ②当点落在上时,则_. 9.如图1,在中,,,点D、E分别在边AC、AB上,,连接DE.将绕点A顺时针方向旋转,记旋转角为. (1)[问题发现]①当时,_; ②当时,_; (2)[拓展研究]试判断:当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明; (3)[问题解决]当旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为_. 10.如图,在菱形中,点P为对角线上的动点,连接,将绕点D按逆时针方向旋转至,使与交于点E. (1)求证:; (2)已知, ①当时,求的面积; ②连接,当为直角三角形时,求的长. 11.已知为等边三角形,边长为4,点D、E分别是、边上一点,连接、.. (1)如图1,若,求的长度; (2)如图2,点F为延长线上一点,连接、,、相交于点G,连接,已知,求证:; (3)如图3,点P是内部一动点,顺次连接,请直接写出的最小值. 12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线