精品解析：2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试数学试题

2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 赵州桥是世界上现存年代最久远，跨度最大，保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥．赵州桥的设计应用到平摆线：当一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的定点的轨迹为平摆线．赵州桥的拱可以近似看作平摆线，设拱与水面交于，两点（在的左侧），，若拱左半部分的一点到水面的距离为，则线段长度的近似值为（ ） A. B. C. D. 5. 某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记的导函数为，在区间上单调，且，记，则在区间上的零点个数为（ ） A. 0 B. 0或1 C. 0或2 D. 1或2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列四个条件中，是的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图像关于直线对称 B. 有三个零点 C. 点是曲线对称中心 D. 曲线与关于直线对称 11. 已知，函数的定义域为，且满足当时，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，，则 C. 若方程在区间上恰好有三个解，则 D. 若，则 12. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，其中的斜率，在第一象限，将沿轴折叠，得到，且平面与平面互相垂直，下列结论正确的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当时，周长的最小值为 C. 当时，若，则点到平面的距离为 D. 当时，设三棱锥的外接球半径为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式中的系数为________（用数字作答）． 14. 在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为________． 15. 已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________． 16. 已知正方体的棱长为，以点为球心作一个半径为的球，若球面与正方体表面相交所得到的交线长为，则这样的球有________个，并写出一个满足条件的的值：________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 如图，在长方体中，，，，分别为，，，的中点，且． （1）证明：直线，，交于一点； （2）设直线，，交于点，记关于平面的对称点为，求二面角的正弦值． 19. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 20. 年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差； （2）根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率； （3）若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本