2.2 切线长定理 课件 2022-2023学年浙教版数学九年级下册

第2章 直线与圆的位置关系 2.2 切线长定理 理解切线长的定义，会推导切线长定理. 掌握切线长定理，并会利用它进行相关的计算和证明. 学习目标 你见过抖空竹表演吗？如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，AC与BD的延长线交于点P. PC与PD有什么大小关系？ · O A C P D B 3 情境导入 如图，P是⊙O外一点，过点P可以作圆的几条切线？ · P O 两条 PA，PB分别切⊙O于A ，B两点. 比较PA，PB两条线段的长短，你发现了什么？ A B PA=PB 探究学习 切线长 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长. 例如，图中，线段PA ， PB的长是点P到⊙O的切线长. · O C A P B D 注意：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上的切点与切点外另一点之间的线段长，可以度量. 5 切线长定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. · O A P B ∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB. 几何语言： 你能证明这个定理吗？ 已知：P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B. 求证：PA=PB. 证明：如图，连结AO，BO，PO. ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴AO⊥PA，BO⊥PB . 而AO=BO，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP . ∴PA=PB. 证明定理“过圆外一点所作的圆的两条切线长相等” . · O A P B 知识拓展 2.若连结两切点A，B，AB交OP于点M. 你能得出什么新的结论? 3.若延长PO交⊙O于点C，连结CA，CB. 你又能得出什么新的结论? 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B. 1.∠PAO与∠PBO有什么关系？ · O A P B ∠PAO=∠PBO OP垂直平分AB CA=CB M C 例1 如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=100cm. 求C到⊙O的切线长(结果精确到1cm). · A O B C 解：如图，连结OA，OB. ∵AC ， BC分别与⊙O相切于点A、B， ∴AC=BC(过圆外一点所作的圆的两条 切线长相等). 典例精讲 又∵OA=OB，OC=OC， ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=×80°=40°. 在Rt△OAC中，∠OAC=90°， ∴=cos40°， ∴AC=OC×cos40° =100×cos40°≈77(cm). 答：点C到⊙O的切线长约为77cm. · A O B C 为什么？ 使用计算器计算 ∴△OAC≌△OBC. 例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 解：如图，连结AB，OA，OB，OP . ∵AP，BP分别切⊙O于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP. 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， · M N O A B P ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°=24×=8(cm). 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120° ， ∴= =≈29(cm). 答：两个切点间的距离为24cm， 的长约为29cm. · M N O A B P ∴OP平分∠APB， 总结 （3）连结圆心和圆外一点. （2）连结两切点. （1）分别连结圆心和切点. 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要作下列辅助线： · M N O A B P 1.判断下列说法是否正确. （1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（ ） 2.如图，PA，PB切圆于A，B两点，∠APB=50°，连结PO，则∠APO=_______. 解析：连结OA，OB，则OA=OB. ∵AP，PB分别切圆于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， ∴∠APO=∠APB=×50°=25°. · A B P O × × 25° 随堂练习 3.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则△PDE的周长为（ ） A.16cm B.14cm C.12cm D.8cm · A B P O D C E 解析：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， ∴PA=PB=8cm，AD=CD，BE=CE， ∴ △PDE的周长为： PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE =PD+AD+BE+PE=PA+PB=8+