2.1.3 切线的性质定理 课件 2022-2023学年浙教版数学九年级下册

第2章 直线与圆的位置关系 2.1 直线与圆的位置关系 第3课时 切线的性质定理 理解切线的性质定理，并能初步运用它解决简单的问题. 掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法. 学习目标 1.切线的定义： 当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. 2.切线的判定定理： 过半径的外端并且垂直半径的直线是圆的切线. 你能说出切线的判定定理的逆命题吗？该命题是真命题吗？ 逆命题是“经过切点的半径垂直于圆的切线”，为真命题. 3 复习导入 如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点. ∠OAP等于多少度? · A T O P 90° 4 探究学习 如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点. ∠OAP等于多少度? 在⊙O上再任意取一些点，过这些点作⊙O的切线，连结圆心与切点，半径与切线所成的角为多少度?由此你发现了什么? · A T O P A1 A2 A3 90° 90° 5 探究学习 经过切点的半径垂直于圆的切线. 圆的切线的性质定理 ∵AT与⊙O相切于点A，OA为⊙O的半径， ∴ AT⊥OA. 几何语言表示： 必须同时满足 · O A T 按图填空： (1) 如果AB切⊙O于A，那么_________. (2) 如果半径OA⊥AB，那么AB是 ______________. (3) 如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是_______. · A O B ⊙O的切线 切点 OA⊥AB 练一练 根据圆的切线的性质定理，我们可以得到两个推论： 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. · O A T 例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C，记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm ， BC=16cm.求⊙O的半径. 解：连结OA，OC ，作AD⊥OC ， 垂足为D，设⊙O的半径为r， ∵⊙O与BC相切于点C， ∴OC⊥BC (经过切点的半径垂直于圆的切线) ， · B A C O D 典例精讲 解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D，设⊙O的半径为r ， ∵⊙O与BC相切于点C， ∴OC⊥BC (经过切点的半径垂直于圆的切线) ， ∵AB⊥BC，AD⊥OC， ∴AD=BC，DC=AB， OD=OC-CD=OC-AB， 在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²， 即r²=（r-8）²+16²，解得r=20. ∴⊙O的半径为20cm. ∴四边形ABCD是矩形， · B A C O D 证明：作OE⊥CD于点E，即∠COE+∠OCE=Rt∠. ∵直线AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB，即∠ACD+∠OCE=Rt∠， ∴∠ACD=∠COE， ∵△ODC是等腰三角形， OE⊥CD. ∴∠COE=∠COD ，∴∠ACD=∠COD. 例2 已知：如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO与⊙O交于点D，连结CD，OC.求证：∠ACD=∠COD. · B A C O D E 当已知圆的切线和切点时，通常需要连结 圆心和切点，可以得到切线与半径垂直， 进而利用切线的性质进行解题. 总结 1.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连结AO并延长交圆于点C，连结BC．若∠A=32°，则∠ACB的度数是（　　） A.29° B.30° C.31° D.32° A · O A B C 解析：如图，连结OB， ∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA=90°， ∵∠A=32°，∴∠AOB=90°-34°=58°， ∵∠AOB=2∠C，∴∠C=29°． 随堂练习 2.已知：如图，CD是⊙O的直径，CD=8，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A=30°，则AB=______. 4 O A C D B 解析：如图，连结OB， ∵AB切⊙O于B， ∴∠OBA=90°， ∵CD=8， ∴OB=4， ∵在Rt△AOB中， ∠A=30°， ∴AB=OB=4. 3.如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC.求∠ABD的度数. 解：∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵BC是圆的切线，AB是圆的直径， ∴∠ABC=90°． ∵AD=DC， ∴△ADB为等腰直角三角形． ∴∠ABD=45°． · O A C D B ∴BD=AD． 根据圆的切线的定义和性质定理，可以总结出切线的性质： (1) 切线和圆有且只有一个公共点； (2) 圆心到切线的距离等于圆的半径； (3) 圆的切线垂直于过切点的半径； (4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (5) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 课堂小结 $