6.4.1平面几何中的向量方法同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法同步练习 一、单选题 1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 2．如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（    ） A．向东南航行 B．向东南航行 C．向东北航行 D．向东北航行 4．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 5．已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，且，则的形状为 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对 8．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影为 10．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．与不可能垂直 D． 11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 12．已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（    ） A．-3 B． C．20 D．15 三、填空题 13．在中，若，则O是的______心． 14．已知的三个角所对的边为，若，为边上的一点，且，，则值为_________. 15．已知正方形，边长为，动点自点出发沿运动，动点自点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若二者同时出发，且到达时停止，另一个点也停止，则该过程中的最大值是______． 16．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______． 四、解答题 17．如图，在中，D是的中点，. (1)若，求； (2)若，求的值. 18．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标． 19．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 20．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 21．已知，是的中点 (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值． 22．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 参考答案 1--8CBBCC AAA 9．BCD 10．BCD 11．BCD 12．BD 13．垂 14． 15． 16．-1 17．（1） 因为， 所以， 故. （2） 因为，所以，所以， 设. 因为， 所以，. 18．设，，，第四个顶点， 由题意，该平行四边形的四个顶点顺序不确定，讨论如下： ①若平行四边形为，则， 因为，，所以，解得； ②若平行四边形为，则， 因为，，所以，解得； ③若平行四边形为，则， 因为，，所以，解得； 综上第四个顶点的坐标为或或. 19． 以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 20．（1）取的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 又因为PB＝1，所以，故， 故的取值范围. （2）因为，所以， 因为，，， 所以，也即， 因为点三点共线，所以① 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以②， 由①得：，将其代入②式可得：， 所以当时，取最大值. 21．（1） 因为，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令，则，所以, 设向量与向量的夹角为， 所以； （2） 因为，所以， 设， 所以， 当且仅当时，取得最小值． 22．证明见解析 【分析】以为基底，表示，，结合向量的运算可知，进而证得结论. 【详解】 因为，所以，即，故. 学科网（北京）股份