课后提升练(九) 二项式系数的性质（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课后提升练(九)　二项式系数的性质 [对应学生用书P102] 1．(1＋2x)5展开式中x2项的系数为(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 B　解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2k·xk.当k＝2时，x2的系数为C×22＝40. 2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n C　解析：方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除选项A，B，D. 3．(多选)下列关于(a＋b)10的说法正确的是(　　) A．展开式中的各二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 AB　解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法D错误． 4．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 D　解析：由题意可得C＝C，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256. 5．已知(1＋2x)8展开的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A． B． C． D． A　解析：a＝C＝70，设b＝C2r， 则 所以得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝. 6．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________． 3　解析：由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3. 7．(a＋b)n的展开式的二项式系数与n的关系，如表所示，当n＝________时，从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3. n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 1　1 2 1　2　1 3 1　3　3　1 4 1　4　6　4　1 5 1　5　10　10　5　1 … … 34　解析：由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34. 8．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为________． 165　解析：在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝165. 9．设(5x－)n展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，求展开式中x的系数． 解：由题意M＝4n，N＝2n， 因为M－N＝240，所以4n－2n＝240. 因为n∈N*，解得2n＝16，所以n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－r， 令4－r＝1，解得r＝2. 故展开式中x的系数为(－1)254－2C＝150. 10．已知(＋2x)n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0， ∴n＝7或n＝14， 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， T4的系数为C()423＝；T5的系数为C()324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8， T8的系数为C()727＝3 432. 11．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　) A．－35x4 B．35x3 C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4 C　解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C. 12．已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，对任意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，则b＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 D　解析：由已知得bxn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋…＋an(x－1)n，所以a1＝C·b＝nb＝9，a2＝C·b＝＝36.解得n－1＝8，n＝9.所以b＝1. 13．(1＋)n展