课后提升练(八) 二项式定理（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课后提升练(八)　二项式定理 [对应学生用书P100] 1．(x＋)9展开式中的第四项是(　　) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 B　解析：由通项公式有T4＝Cx6()3＝84x3. 2．(2022·北京东城区二模)已知(2x＋a)5的展开式中x2的系数为－40，那么a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 B　解析：(2x＋a)5的展开式通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·ar＝C·25－rarx5－r，令5－r＝2，可得r＝3，所以C·22a3＝40a3＝－40，解得a＝－1.故选B. 3．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 A　解析：方法一　(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12. 方法二　因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，所以x3的系数为1×4＋2×4＝12. 4．(多选)对于二项式(＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 AD　解析：该二项展开式的通项为Tk＋1＝C()n－k·(x3)k＝Cx4k－n，∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选AD. 5．在(x＋y＋z)6的展开式中，xyz4的系数是(　　) A．15 B．30 C．36 D．60 B　解析：因为(x＋y＋z)6＝[(x＋y)＋z]6，所以[(x＋y)＋z]6的通项公式为C·(x＋y)6－r·zr，令r＝4，所以C·(x＋y)2·z4＝15(x2＋2xy＋y2)z4，因此xyz4的系数是15×2＝30，故选B. 6．已知二项式(x＋a)5展开式中，x2项的系数为80，则a＝________． 2　解析：由二项式展开公式可得，Cx2a3＝80x2，解得a＝2. 7．(1－ax)(1＋x)6的展开式中，x3项的系数为－10，则实数a＝________． 2　解析：∵(1－ax)(1＋x)6＝(1＋x)6－ax(1＋x)6，(1＋x)6的展开式通项为Tk＋1＝Cxk，∴ax(1＋x)6的展开式通项为Tr＋1＝axCxr＝aCxr＋1，令可得由题意可得C－aC＝20－15a＝－10，解得a＝2. 8．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 16　5　解析：由题意，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9).当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个． 9．若二项式(x－)6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值． 解：∵Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－a)rCx6－， 令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2； 令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2. 10．记(2x＋)n的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)(2x＋)n的展开式中第m项为 C·(2x)n－m＋1·()m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－m·C. (2)当n＝6时，(2x＋)n的展开式的通项为 Tr＋1＝C·(2x)6－r·()r＝26－r·C·x6－2r. 依题意，6－2r＝0，得r＝3， 故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C， 从而C＝C，即n＝5. 11．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－r()r＝C3n－rxn－r(k∈N*)，令n－r＝0，得n＝r，当r＝2时，n＝5，此时n最小． 12．(多选)若(3－2)n的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n的取值为(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 BD　解析：(3－2)n的通项公式是Tr＋1＝C·(3x)n－r·(－2x)r＝C·3n－r·(－2)r·x， 设其有理项为第r＋1项，则x的指数为， 依题意为整数，注意到0≤