培优练01 平面向量的概念与运算（课时重点）-2022-2023学年高一数学下学期重点题型培优练（人教A版2019必修第二册）

平面向量的概念与运算 一、单选题 1．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 4．设，为平面内任意两个非零向量,则下列不正确的是（    ） A．的充要条件是存在唯一实数λ，使得 B．⊥的充要条件是 C．的充要条件是 D．的充要条件是 5．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 9．在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向. D．若，则，一定同向 12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 13．已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影数量是______． 14．如图，在中，，，为的中点，则_____________． 15．在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为________． 16．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若非零向量、满足，则； ④已知非零向量、、，若，则． 其中真命题的序号是______． 四、解答题 17．已知向量与的夹角为，，. (1)求； (2)求与的夹角. 18．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B） (1)求（结果用表示）； (2)若 ①求的取值范围； ②设，记，求的最小值. 19．设两个非零向量与不共线． (1)若，，求证三点共线． (2)试确定实数，使和共线． 20．从下列四个命题中，选择一个你认为正确的命题并证明；选出一个你认为错误的并说明理由； （1），； （2）若，，则； （3）； （4）． 21．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 22．设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念与运算 一、单选题 1．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确； 因为分别是的单位向量，所以，故选：D 2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出. 【详解】图中与共线的向量有： ，共9个，故选：D. 3．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误； 对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大