5.3.2 课时2 函数的最大(小)值（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．函数f＝－cos x在上的最小值为(　　) A．－　　　　　　　　　 B．＋1 C．－1 D．－－ 解析　因为f＝－cos x， 所以f′＝＋sin x， 当x∈时，f′<0，f单调递减；当x∈时，f′>0，f单调递增，故fmin＝f＝－－.故选D. 答案　D 2．函数y＝的最大值为(　　) A．e－1 B．e C．e2 D． 解析　令y′＝＝0，则x＝e， 当x∈(0，e)时，y′>0，当x∈(e，＋∞)时，y′<0. ∴当x＝e时y取最大值，故选A． 答案　A 3．(多选题)下列结论不正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 解析　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 答案　ABC 4．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________. 解析　f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)． 又x∈[0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,3]时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－2. 又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2， 所以m－n＝18－(－2)＝20. 答案　20 5．某工厂需要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 解析　设长、宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b， ∴l＝2b＋，∴l′＝2－， 令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32. 即当长、宽分别为32 m,16 m时最省材料． 答案　32 m,16 m 6．(10分)求下列函数的最值． (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； (2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]． 解析　(1)f′(x)＝cos x－sin x. 令f′(x)＝0，即tan x＝1，且x∈， 所以x＝. 又f＝，f＝－1，f＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1． (2)f′(x)＝－x，令－x＝0， 化简为x2＋x－2＝0， 解得x1＝－2(舍去)，x2＝1． 当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值． 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)． 所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－为函数在[0,2]上的最大值． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析　因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为f(0)＝1＋a，所以1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围为(－1，＋∞)． 答案　A 8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可． 答案　(－∞，2ln 2－2] 9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析　由f(x)＝＋2ln x，得f′(x)＝， 又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且a>0，