5.3.2 课时1 函数的极值（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 解析　根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值． 答案　AB 2．(2022·遵义模拟)已知函数f(x)＝sin x＋ax在x＝处取得极值，则a＝(　　) A．－　　　　　 B．－ C． D． 解析　因为f(x)＝sin x＋ax，则f′(x)＝cos x＋a， 由题意可知f′＝cos ＋a＝0⇒a＝－.经检验满足题意． 故选B. 答案　B 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　) A．－e B．－1 C．1－e D．0 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1．令f′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1． 答案　B 4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝____________. 解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴即 解得a＝2，b＝－4，∴a＋b＝2－4＝－2. 答案　－2 5．函数y＝的极大值为________，极小值为____________． 解析　y′＝，令y′>0得－1<x<1， 令y′<0得x>1或x<－1， ∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1． 答案　1　－1 6．(10分)求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－27x；(2)y＝. 解析　(1)函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  54  －54  从表中可以看出，当x＝－3时，函数有极大值，且f(－3)＝54. 当x＝3时，函数有极小值，且f(3)＝－54. (2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2， ∴当x变化时，y′，y的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y  －   3  故当x＝－1时，y有极大值－. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于(　　) A． B． C． D． 解析　函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝. 答案　C 8．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________. 解析　因为f′(x)＝＋2bx＋1， 由题意得所以a＝－. 答案　－ 9．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________． 解析　设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3. 令f′(x)＝0，得x＝±1， 且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k， 又f(x)的图象与x轴有3个交点， 故∴－2<k<2. 答案　(－2,2) 10．(10分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解析　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x， 故f′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)． 由点(0,6)在切线上