5.3.1 函数的单调性（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是(　　) A．3sin x　　　　　　　　　 B．(x－3)ex C．x3－15x D．ln x－x 解析　(3sin x)′＝3cos x，[(x－3)ex]′＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，(x3－15x)′＝3x2－15，(ln x－x)′＝－1，当x>2时，只有[(x－3)ex]′>0恒成立，故选B. 答案　B 2．(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3，－2)上f(x)是减函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上f(x)是增函数 解析　由导函数f′(x)的图象知在区间(－3，－2)上，f′(x)＜0，在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4,5)上单调递增．故选A，C． 答案　AC 3．(2022·南平模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 解析　设f(x)＝(x>0)⇒f′(x)＝， 当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，a＝＝f(e)，b＝＝f(7)，c＝＝f(5)，因为7>5>e，所以f(7)<f(5)<f(e)，即b<c<a， 故选A． 答案　A 4．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为____________． 解析　令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得<x<π，所以函数的单调递增区间为. 答案　 5．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________． 解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0， 解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的单调减区间为(－2，－1)． 答案　(－2，－1) 6．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0. (1)求a和b； (2)试确定函数f(x)的单调区间． 解析　(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f′(x)＝x2＋2ax＋b， 由得 解得a＝1，b＝－3. (2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x. f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)． 由f′(x)>0得x>1或x<－3； 由f′(x)<0得－3<x<1．所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析　函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1． 答案　B 8．(2022·深圳模拟)若函数f＝kx－ln x在区间上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　f′(x)＝k－，∵函数f＝kx－ln x在区间单调递增， ∴f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴k>在(1，＋∞)上恒成立，而y＝在区间上单调递减，∴k≥1，即k的取值范围是.故选D. 答案　D 9．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________． 解析　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝3ax2＋1． 若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾； 若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾； 若a<0，则f′(x)＝3a， 综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间． 答案　(－∞，0) 10．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x，若f(x)为单调递减函数，求实数a的取值范围． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＋a－＝. 因为f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以f′(x)≤0对∀x∈(0，＋∞)恒成立， 所以－2x2＋ax－1≤0， 即a≤2x＋对∀x∈(0，＋∞)恒成立． 又因为2x＋≥2＝2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)，所以a≤2. 故实数a的取值范围为(－∞，2]． [核心素养·探索创新] (时间：15分钟，分值：12分) 11．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上