4.3.2 课时2 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) A．190　　　　　　　 B．191 C．192 D．193 解析　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7， 由＝381，解得a1＝192. 答案　C 2．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是(　　) A．11×(1．15－1)a亿元 B．10×(1．15－1)a亿元 C．11×(1．14－1)a亿元 D．10×(1．14－1)a亿元 解析　由题意可知，今年年末的总产值为1．1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1．1a，公比为1．1．所以其前5项和为S5＝＝11×(1．15－1)a亿元，故选A． 答案　A 3．(多选题)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　) A．a1d>0 B．dS4<0 C．a1d<0 D．dS4>0 解析　∵在等差数列{an}中，a3，a4，a8成等比数列， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)⇒a1＝－d， ∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d， ∴a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0，故选B，C． 答案　BC 4．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子……第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是________颗． 解析　因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36， 所以此人一共走了8次， 因为第n次走n米放2n颗石子， 所以他投放石子的总数是2＋22＋23＋…＋28＝＝2×255＝510(颗)． 答案　510 5．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 解析　由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64,27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 答案　6 6．(10分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解析　(1)证明　由题设，知 两式相加得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1． 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．(多选题)(2022·枣庄模拟)已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　) A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为an＝2n－1 D．Tn>1 解析　因为Sn＋1＝Sn＋2an＋1， 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，an＋1＋1＝2an＋2， 即＝2，且a1＋1＝2， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误； 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故C正确； 因为＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝1－<1， 故D错误． 故选AC． 答案　AC 8．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________． 解析　因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－. 答案　－ 9．龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现)．例如第一代龙曲线(图1)是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3、A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙