4.3.2 课时1 等比数列的前n项和（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　) A．93　　　　　　　　 B．－93 C．45 D．－45 解析　S5＝＝＝93. 答案　A 2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1． 因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1． 答案　C 3．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6， 由等比数列的性质，可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∴4,2，S6－6成等比数列， ∴22＝4(S6－6)，解得S6＝7. 故选A． 答案　A 4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝____________. 解析　a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数， 所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510. 答案　510 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和. 若a1＝，a＝a6，则S5＝________. 解析　由a＝a6可得aq6＝a1q5，解得a1q＝1，即q＝3，故S5＝＝. 答案　 6．(10分)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且公比q＝2，求数列{nan}的前10项的和． 解析　由题意，an＝2n－1，设{nan}的前n项和为Sn， 则S10＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋10×29， 2S10＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋10×210， 两式相减得：－S10＝1＋21＋22＋23＋…＋29－10×210＝－1－9×210，所以S10＝1＋9×210. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　) A．或5 B．或5 C． D． 解析　设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝. 答案　C 8．在正项等比数列{an}中，S30＝13S10，S30＋S10＝140，则S20＝________. 解析　设等比数列的公比为q，由题意知q≠±1，由条件可得S10＝10，S30＝130，因为数列S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，故S20＝－30或S20＝40.又S20＞0，所以S20＝40. 答案　40 9．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析　由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24. 又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24， 即2n－1＋2n＝24， 解得n＝4，故项数为8. 答案　8 10．(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝. (1)求等比数列{an}的公比q； (2)求a＋a＋…＋a. 解析　(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－. 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－. (2)由(1)得an＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列． 故a＋a＋…＋a＝＝. [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1,3a2,9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜. 解析　(1)∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3， ∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q， 则6q＝1＋9q2，∴q＝， ∴an＝a1qn－1＝n－1， ∴bn＝＝n·n. (2)证明　由(1)知an＝n－1，bn＝n·n， ∴Sn＝＝－×n－1， Tn＝1×1＋2×2＋…＋n·n，①