4.3.1 课时2 等比数列的性质及应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32　　　　　　　　　 B．64 C．256 D．±64 解析　由题意得，a1a99＝16， ∴a40a60＝a＝a1a99＝16， 又a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64. 答案　B 2．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于(　　) A．38 B．39 C．9 D．7 解析　因为a4a8＝a5a7，a4a8＝3a7，所以a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9. 答案　C 3．(多选题)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D.，{an·bn}一定是等比数列 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积和商一定是等比数列． 答案　CD 4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________. 解析　∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7. 答案　7 5．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案　2 048 6．(10分)已知数列{an}为等比数列， (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 解析　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6， ∴a1a3＝36. 又a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1． (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　) A．230 B．210 C．220 D．215 解析　∵a1·a2·a3·…·a30＝230， 答案　C 8．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则数列的前13项之积等于________． 解析　由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a， ∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，而a7＝－2. ∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213. 答案　－213 9．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3……，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2, A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________. 解析　方法一：直接递推归纳： 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝， A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝. 方法二：求通项： 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n， 故a7＝2×6＝. 答案　 10．(10分)某学校复学后，为了防控新冠肺炎疫情，配置消毒液，从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是多少？ (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? 解析　(1)由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1