4.3.1 课时1 等比数列的概念与通项公式（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．(2022·南宁模拟)已知等比数列中，a2＝2，a5＝16，则该数列的公比为(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 解析　设等比数列的公比为q，可得出q＝＝2. 故选C． 答案　C 2．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 解析　设2＋和2－的等比中项为G， 则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1． 答案　C 3．(多选题)下面四个选项中，正确的有(　　) A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，…，b一定为等比数列 C．等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 解析　A错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；B错误，b＝0时不是等比数列；C，D正确，故选C，D. 答案　CD 4．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝____________. 解析　∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2. 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n. 答案　(－2)n或－2n 5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 解析　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)， 解得d＝－1， ∴q＝＝＝1． 答案　1 6．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2，∴{an}是等比数列， ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或2 解析　由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切． 答案　B 8．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则公比q＝________，＝____________. 解析　由题设a1，a3,2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2. 答案　＋1　3＋2 9．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 解析　依题意设原来的三个数依次为，a，aq. ∵·a·aq＝512，∴a＝8. 又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 答案　28 10．(10分)数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn. 解析　∵{an}是等差数列， ∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d， 又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项， ∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)， 解得d＝2a1． 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝＝，又b2＝b1q＝5，即b1＝5， 解得b1＝3， ∴bn＝3·n－1． [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解析　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. (2)证明　∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． 由(1)知a1－2＝－2＝， ∴an－2n≠0，n∈N*. ∴＝3，∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n. 学科网（北京）股份有限公司 $