4.2.2 课时2 等差数列前n项和的综合应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12　　 　 B．12 C．13 D．12或13 解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋. ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大． 答案　D 2．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 解析　a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝99＝3a4， ∴a4＝33，∴d＝＝－2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n， 令an>0，∴41－2n>0，∴n<，∴n≤20. 答案　C 3．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，下列选项正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确． {Sn}中最大项为S6，D不正确． 故正确的是A，B. 答案　AB 4．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝____________时，前n项和Sn取最大值，最大值是____________． 解析　∵d＝an＋1－an＝－4，∴an＝－4n＋36. 令an＝－4n＋36≥0，得n≤9， ∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144. 答案　8或9　144 5．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？ 解析　由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d2＝－0.5.设第m天相逢，则a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1 125，解得m＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢． 答案　9 6．(2022·西安模拟)设等差数列的前n项和为Sn，已知a2＝2，S5＝15. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列的公差为d， 则解得a1＝1，d＝1． ∴an＝n. (2)由(1)知Sn＝. ∴＝＝－，＝. ∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．(2022·镇江模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为(　　) A． B． C． D． 解析　对于Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2＝2n－1； 经检验，an＝2n－1对n＝1也成立， 所以an＝2n－1． 所以＝＝， 所以T20＝＝. 故选C． 答案　C 8．(多选题)(2022·合肥模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，若S2 021>0，S2 022<0，则下列结论错误的是(　　) A．数列是递减数列 B.< C．当Sn取得最大值时，n＝1 012 D．S1 012>S1 009 解析　S2 021＝＝2 021a1 011>0，所以a1 011>0， S2 022＝＝1 011<0， 所以a1 011＋a1 012<0，所以a1 012<0且>， 所以数列是递减数列，且当n＝1 011时，Sn取得最大值．故A正确，BC错误． 因为S1 012－S1 009＝a1 010＋a1 011＋a1 012＝3a1 011>0，所以S1 012>S1 009，故D正确． 故选BC． 答案　BC 9．(2022·南通模拟)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”．已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层(从上往下)球数构成一个数列，则a5＝____________，＋＋…＋＝____________. 解析　因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 以上n个式子累加，得an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 则a5＝＝15； 因为＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.