4.2.2 课时1 等差数列的前n项和（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230　　　　　　　 B．420 C．450 D．540 解析　S20＝20×2＋×2＝420. 答案　B 2．(2022·广州模拟)在等差数列中，已知a3＋a4＝12，则数列的前6项之和为(　　) A．12 B．32 C．36 D．37 解析　数列的前6项之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3＝36. 故选C． 答案　C 3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析　由题意奇数项和S1＝＝＝(n＋1)an＋1＝165，① 偶数项和S2＝＝＝nan＋1＝150，② 可得＝，解得n＝10.故选B. 答案　B 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________. 解析　设{an}的公差为d，则 解得于是an＝2＋(n－1)×2＝2n. 答案　2n 5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________． 解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A． 答案　2A 6．(10分)已知等差数列{an}满足：a3＝6，a2＋a5＝14，{an}的前n项的和为Sn，求an及Sn. 解析　由得 ∴ 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n， Sn＝na1＋d＝2n＋n(n－1)＝n2＋n. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1． 答案　B 8．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 解析　当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1．因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案　－ 9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________. 解析　因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10. 答案　10 10．(10分)设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列． (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)． 所以4an＝a－a＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)． 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1． [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．(2021·新高考全国卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解析　(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3， 则a3＝5a3， ∴a3＝0， 设等差数列的公差为d，从而有 a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零， 故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4， 则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数， 故n的最小值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $