4.2.1 课时2 等差数列的性质（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5＝(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析　由等差数列性质得a2＋a8＝2a5＝12，所以a5＝6. 答案　C 2．(2022·咸阳模拟)已知数列为等差数列，若a2＋a4＝4，则a1＋a5＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由等差数列性质知a1＋a5＝ a2＋a4＝4. 故选D. 答案　D 3．(多选题)若{an}是等差数列，下列数列仍为等差数列的是(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 解析　数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋q)－(pan－1＋q)＝p(an－an－1)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故{2an＋n}是等差数列，D成立．故选B，C，D. 答案　BCD 4．已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，则a12＝____________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a6－a2＝4d＝11－3＝8，d＝2，所以a12＝a6＋6d＝11＋6×2＝23. 答案　23 5．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1,3,7或7,3，－1． 所以这三个数的积为－21． 答案　－21 6．(10分)梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度． 解析　用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d， 即110＝33＋11d，解得d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9等于(　　) A．39 B．20 C．19.5 D．33 解析　由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6. 又3a5×2＝3a4＋3a6， 解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33. 答案　D 8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升 B．升 C．升 D．升 解析　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即解得 则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升． 答案　B 9．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2()＝________. 解析　在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则 答案　20 10．(10分)已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值． 解析　因为a3＋a5＋a7＝93， 所以3a5＝93，所以a5＝31， 所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5. 因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15， 所以6<d≤7， 又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3. [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解析　设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1． 所以数列{cn}为