4.2.1 课时1 等差数列的概念及简单表示（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．－2 D．－3 解析　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C． 答案　C 2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　) A．50 B．51 C．52 D．53 解析　依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53. 答案　D 3．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析　由题意得，∴m＋n＝6， ∴m，n的等差中项为3. 答案　B 4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1． ∴a6＝2×6＋1＝13. 答案　13 5．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________. 解析　由题意得该等差数列的公差d＝＝，所以c－a＝2d＝. 答案　 6．(10分)已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式： (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为a,2a－1,3－a. 解析　(1)设首项为a1，公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1． (2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝，所以等差数列首项为，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，所以an＝＋(n－1)×＝＋1． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．(多选题)若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取值可以是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，解得d＝.又d为整数，n≥3，则n＝3,5,6,9,11,21,41．故选A，D. 答案　AD 8．△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且A－C＝40°，则A＝________. 解析　∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C． 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°. 又A－C＝40°，∴A＝80°. 答案　80° 9．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝____________. 解析　∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数． ∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．∴2a＝0，∴a＝0. 答案　0 10．(10分)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)． (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. 解析　(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20. (2)证明　∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)， ∴＝＋1(n≥2，且n∈N*)， 即－＝1(n≥2，且n∈N*)， ∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列． (3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－， ∴an＝·2n. [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2, … )，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)， 且a1＝1． 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列 {an}不可能为等差数列， 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $