第五章 一元函数的导数及其应用 章末整合提升（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

(一) 导数的几何意义 1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． [典题1]　(一题多解)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　　　　 B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x [解析]　方法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，又因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D. 方法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D. [答案]　D (二) 函数的单调性与导数 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． [典题2]　已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数且a≠0. (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)， 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)由题意得f′(x)＝－4x＋(x>0)， 因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数， 所以在区间[1,2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立， 即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1,2]时恒成立，即≥4x－或≤4x－(1≤x≤2)，即≥max或≤min，其中1≤x≤2. 令h(x)＝4x－(1≤x≤2)，易知函数h(x)在区间[1,2]上单调递增， 故h(1)≤h(x)≤h(2)． 所以≥h(2)或≤h(1)， 即≥4×2－＝或≤4×1－＝3， 解得a<0或0<a≤或a≥1． 故a的取值范围为(－∞，0)∪∪[1，＋∞)． (三) 函数的极值、最值与导数 1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然． 2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f(x)的定义域． (2)解方程f′(x)＝0的根． (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号： 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值． 注意：导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在区间(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． [典题3]　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值． [解析]　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a， 即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2， 得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在区间[0，t]上是减函数，所以f