5.3.2 课时1 函数的极值（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 学业标准 素养目标 1．了解极大值、极小值的概念．(难点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点) 3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1．通过极值概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　函数的极值 已知y＝f(x)的图象(如下图)． 　函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ [提示]　在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的． 　y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？ [提示]　f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0. 　在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ [提示]　在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正． ◎结论形成 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝__0__，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，就把__点a__叫做函数y＝f(x)的极小值点，__f(a)__叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝__0__，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，就把__点b__叫做函数y＝f(x)的极大值点，__f(b)__叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值点与极值 极大值点、极小值点统称为__极值点__，极大值、极小值统称为__极值__． 导学2　函数极值的求法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，那么f(x0)是极小值． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (2)导数为0的点一定是极值点．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) (4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析　设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． 答案　C 3．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________． 解析　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，y′<0，函数是减函数， 当－1<x<1时，y′>0，函数是增函数， 当x>1时，y′<0，函数是减函数， 所以当x＝－1时，函数有极小值． 当x＝1时，函数有极大值． 答案　1　－1 4．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________． 解析　∵f′(x)＝2x－，且函数定义域为(0，＋∞)， ∴令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1． 答案　1 题型一　求函数的极值 　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝－x3＋－6. [解析]　(1)f′(x)＝2x－2， 令f′(x)＝0，解得x＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x＝1处有极小值，且y极小值＝－2. (2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1． 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)  极小值  无极值  所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6. [规律方法] 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)