5.3.1 函数的单调性（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 学业标准 素养目标 1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点) 1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学1　函数的单调性与导数 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示． 　试结合图象指出以上三个函数的单调性． [提示]　函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． 　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． [提示]　y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． 　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． [提示]　当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数． ◎结论形成 在区间(a，b)内，函数f(x)的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递__增__ f′(x)<0 单调递__减__ f′(x)＝0 常函数 导学2　利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求出函数的导数f′(x)． (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间． 导学3　导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化较慢，函数图象就比较“平缓”． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析　∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 答案　A 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析　∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1．由f′(x)＞0得ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案　(0，＋∞) 4．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 解析　易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案　(－∞，0)，(0，＋∞) 题型一　单调性与导数的关系 　(1)(多选题)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列选项中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1,5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0 (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) [解析]　(1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故A，B正确，选A，B. (2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. [答案]　(1)AB　(2)D [规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． [触类旁通] 1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，是y＝f(x)的大致图象的是(　　) 解析　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在区间(0,1)上为减函数； 当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在